对二元一次不等式确定平面区域的探究

对二元一次不等式确定平面区域的探究湖北省阳新县高级中学邹生书人教版高二数学第二册（上）二元一次不等式确定平面区域属于新增内容，大纲要求是：了解二元一课次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式（组）。笔者对这部内容作了一些研究，本文将得出的重要结论及其在解题中的应用与大家进行交流，希望能对这节内容的教学和学习有所帮助。命题1：已知二元一次函数①点P1（x1,y1）在直线Ax+By+C=0上②若B≠0，则有点P1（x1,y1）在直线Ax+By+C=0上方点P1（x1,y1）在直线Ax+By+C=0下方③若A≠0，则有点P1（x1,y1）在直线Ax+By+C=0右方点P1（x1,y1）在直线Ax+By+C=0左方分析：①易证，②、③证法类似，下面对②进行证明。证明：②当B≠0，直线把坐标平面分成上、下两个半平面.设P1（x1,y1）是坐标平面内不在l上的任意一点,作直线x=x1交l于点P0，设P0的坐标为(x1,y0).∵点∴∴即由此可知点点根据这个命题不难得出直线l同侧上的两个点对应的二元函数的值符号相同，异侧上的两个点对应的二元函数值符号相反，即有如下结论：命题2：已知二元一次函数①点在直线②点在直线应用举例：1、快速准确地确定二元一次不等式所表示的平面区域.例1：（人教版高二数学第二册第64页例1）画出不等式表示的平面区域.解法1：异号，由命题1知不等式表示直线下方的平面区域，如图所示解法2：异号，由命题1知不等式表示直线左方的平面区域，如图所示小结：二元一次不等式确定平面区域的方法：①点判别法：直线定边界，一点定区域，合则在，不合则不在；②B符号判别法：直线定边界，符号定区域，同上异下；③A符号判别法：直线定边界，符号定区域，同右异左.由例1可知，教材采用点判别法，需要取点，计算函数值，判断点与直线的位置关系再确定平面区域，而符号判别法只需由A（或B）的符号与不等式的符号的异同直接确定平面区域，相比之下显得快速准确、实用.2、巧妙简捷地求方程含有参数的直线与已知线段相交时参数的取值范围.例2：直线为端点的线段相交，则k的取值范围是_______.分析：这是一道一题多解的好题，但有的解法运算量大，有的解法容易出错，若用命题2的结论可轻而易举地得出正确结果，解法如下：解：设直线练习题：1、表示图中阴影部分的平面区域内的点（x,y）所满足的约束件是_________.2、直线在第一象限，则k的取值范围是_______.答案：1、2、寻求二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法东北师范大学熊明军大连理工大学曾玲莉简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域．下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域．方法一：直线定界，特殊点定域找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：①画直线②取特殊点③代值定域④求公共部分①画直线──作出各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线，否则作虚线）；②取特殊点──平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原点时我们选取特殊点或（坐标轴上的点），当直线不过原点时我们选取原点做特殊点；③代值定域──将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边．④求公共部分──不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分．例1画出不等式组所表示的平面区域．解析：①画直线：不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）．②取特殊点：直线过原点，可取特殊点；直线不过原点，可取特殊点．③将代入，即，不等式不成立，直线另一侧区域就是不等式所表示的平面区域；将代入，即，不等式成立，则原点所在区域就是不等式所表示的平面区域．（图一）④求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域．方法二：法向量判定法由平面解析几何知识知道直线（不同时为0）的一个法向量为．以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论：（1）不等式（），不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；（大于同向）（2）不等式（），不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；（小于反向）例2画出不等式组所表示的平面区域．解析：①不等式对应的直线方程是，法向量；不等式对应的直线方程是，法向量；在平面直角坐标系中作出直线与及其相应的法向量（如图）．②由于不等式（），平面区域是法向量指向的区域（图一）；不等式（），平面区域是法向量反向的区域（图二）．③然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域．方法三：未知数系数化正法直线（不同时为0）含有两个未知数，于是我们可以将未知数的系数分为两类：项系数与项系数来研究．（1）项系数化正法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时（移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方）有结论：项系数正值化：上；下．例3画出不等式组所表示的平面区域．解析：①不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）．②将不等式组中每个不等式项系数正值化，得或（移项）．③关于的不等式（）即（或者），直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；关于的不等式（）即，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）．④然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域．（2）项系数化正法：同（1）一样，不等号两边同时（或移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的右方；反之为左方）有结论：项系数正值化：右；左．可结合例3来对项系数化正法进行理解．上述方法中，方法一是寻找二元一次不等式所表示的平面区域的常规方法，思维回路较长，适合对理论的学习，但要快速准确地解决简单的线性规划问题就必须掌握方法二或方法三中之一．当前位置：首页高中数学学生中心解题指导线性规划解法赏析内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军“最优化”问题中的简单线性规划是高考常考知识点，属于不等式模块，重点考查学生的动手操作能力。随着新课程改革的全面施行，现有的人教版教材把不等式内容进行了很大程度的推广和深化。高中数学的教学，不是把已有的简单问题复杂化，而是应该在比学生理解掌握的知识水平更低的层次来思考解决问题的方法，让学生感觉数学不是高不可攀的。因此，有必要对线性规划问题的解法做一下梳理强化，结合例题多策略求解，以便学生参考选择适合自己的方法。（人教B版）例3两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。已知小区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；小区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务。如果要求区参与活动的同学比区参与活动的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元。怎样安排两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？解：依题意可列表如下：地区往返车费（元）服务人数（人）区区要求不超过设两区参与活动的人数分别为、，则受到服务的老人的人数为其中满足下列条件于是问题转化为，在满足上述约束条件下，求式子的最大值。【解法一】线定界，点定域，距离确定最优解①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线：不等式、与对应的直线方程分别为、与；在同一平面直角坐标系中作出直线（实线）、（实线）与（实线）。②取特殊点确定约束条件表示的可行域：平面直角坐标系中的直线分为过原点和不过原点两类，不过原点的直线定域取特殊点；过原点的直线定域取特殊点或。③可行域中的点到目标函数直线的距离确定最优解：作出直线：，结合图中所示可行域，容易看出点到直线的距离最大，若是整点，则是最优解。【解法二】线定界，号定域，距离确定最优解①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线。（同解法一）②将约束条件中各不等式的项系数变为正数：。由下列结论，通过不等号来确定约束条件表示的可行域：（或），且，则不等式所表示的平面区域为直线上方（大于上）；（或），且，则不等式所表示的平面区域为直线下方（小于下）。③可行域中的点到目标函数直线的距离确定最优解：作出直线：，结合图中所示可行域，容易看出点到直线的距离最大，若是整点，则是最优解。【解法三】线定界，方向定域，距离确定最优解①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线。（同解法一）②约束条件化为：，直线（不同时为0）的一个法向量为（设其以坐标原点为始点），由下列结论确定约束条件表示的可行域：（或），则不等式所表示的平面区域为同向（大于同向）；（或），则不等式所表示的平面区域为反向（小于反向）。③可行域中的点到目标函数直线的距离确定最优解：作出直线：，结合图中所示可行域，容易看出点到直线的距离最大，若是整点，则是最优解。当前位置：首页高中数学学生中心解题指导一类不等式的证明广东省吴川市第四中学罗亮在不等式的证明问题中，发现一类证法原理一样的不等式，现呈现如下：例1．若，求证：．①证：由得，，同理，，。所以，，故，成立。例2．若，求证：．②证：由得，，同理，，，所以，，故，成立．比较不等式①、②发现其形式与证法都是类似的，不等式①、②的形式左边、右边都是几个的和，左边是分式的形式，且分子的次数比分母高一次；然后是证法都是通过添加项多次利用基本不等式，得到最终想要的结果。由这样的规律，可把上述不等式推广到更一般的形式有：推广1．若，，且，则，．证：由得，，同理，，,所以，，所以，成立。证完．推广2．若，且，则，．证：由得，，同理，，，所以，，所以，成立。证完。以上述形式类似，证法一样的题目还有很多，下面再举一个例子：例3．已知，求证：。证：由得，，同理，，。所以，，故，成立。从上述的例子，我们可以看到，在运用基本不等式证明不等式时，有这样一类不等式，就是把不等式左边的所有项通过添加项运用基本不等式，再用不等式加法性质把所有式子相加，而得到最终要证明的不等式。这类不等式的证明在添加项的时候，添加什么样的项需要一定的技巧。因此，我们在平时需多进行练习，去熟悉基本不等式，并且能熟练的运用基本不等式。