对二面角的平面角定义合理性的探究

OB’A’图2βαlABB’OA’图1βαlAB对二面角的平面角定义合理性的探究*谢林重庆复旦中学400016王跃辉重庆市渝中区教师进修学院4000151问题的提出人教A版教材《必修2》对二面角的平面角是这样定义的：“在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角．”并在定义旁边以思考题“AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？”的方式让学生通过探究知道这样定义的二面角的平面角具有唯一性，进而知道定义的合理性．然而，学生在探究中发现“当射线OA、OB与棱l不垂直时，虽然OA、OB的作法不唯一，但是当射线OA、OB向同一个方向（或朝相反方向）倾斜时（如45），AOB的大小与点O在l上的位置也是无关的．”于是，学生提出教材为什么要这样定义二面角的平面角呢？为了解决学生的这种疑问，许多教师对二面角的平面角的定义合理性进行了研究，具有代表性的看法有如下两种：文[1]认为教材的处理方式符合便于作出和便于计算的简洁、方便原则，文[2]认为这样定义的角具有最值性，并给出了如下结论：对于给定的二面角l，若在半平面和内分别取射线AO、BO，使它们与棱l所成角分别为21,，且]2,0[,21，则有：（1）当21时，BOA与AOB的大小关系不能确定；（2）如图1，当21时，若AO、BO在面AOB的同侧，则AOBBOA；（3）如图2，当21时，若AO、BO在面AOB的异侧，则AOBBOA.仔细分析文[1]、[2]可以发现，它们都是从线线角的角度对定义合理性进行探究，笔者认为其合理性还可以从线面角的角度探究出最值性，并且用截面法给出的等价定义更能说明唯一性和确定性．为此，笔者将从以下两方面予以说明．2从线面角的角度探究如图3，过点B作BH直线OA于H，因为lOA，lOB，所以l平面AOB，所以BHl，故BH平面，于是射线OB与平面所成的角是AOB（或其补角）.当二面角l为锐角时，射线OB与平面所成的角就是AOB.*该探究系重庆市十二五规划课题《普通高中数学新课程下说题教学策略实验研究》的研究成果之一OH图3βαlABCHO图4βαlAB图6OABCO'A'FED图7OABCO'A'图5BAOlαβγ如图4，设二面角l为锐角，则射线OB与平面所成的线面角就是二面角l的平面角AOB.如果在半平面内，过棱l上任一点C作不垂直于棱l的射线CB，那么射线CB与平面所成角是BCH.因为CBOB，所以AOBBOBHBCBHBCHsinsin，故AOBBCH.因此，当二面角为锐角时，二面角的平面角是其中一个半平面内所有射线与另一个半面所在平面所成角中最大的一个.显然，当二面角为直角或钝角时，也满足这种最值性.以上探究实际上作出了棱l的一个垂面BHOA，也是二面角l的一个截面，并且该截面与两个半平面的交线所形成的线线角就是二面角的平面角.众所周知，截面对几何图形的认识有着重要意义，比如人们最早是从圆柱的斜截面中发现椭圆图形，从圆锥的截面中发现双曲线图形.如果我们从截面的角度来定义二面角的平面角，又会怎样呢？3从截面的角度探究如图5，过棱l上任意一点O作l的垂面，则OA，OB，因为l，所以lOA且lOB，故AOB是二面角l的平面角.因为过直线上一点作该直线的垂面有且只有一个，且AOB的大小不随垂面的平移而改变，所以由垂面得到AOB的大小满足唯一性和确定性.因此，垂面法也可以给出二面角的平面角的定义，并且这种定义可以告诉学生二面角的平面角总是在棱的垂面中，于是学生在寻找二面角的平面角时更有方向性.如果所作的平面与棱l不垂直（即与棱所成角为锐角），类似垂面的方式产生的AOB可以用来度量二面角的大小吗？答案是否定的，因为这种方式得到的AOB不具有唯一性和确定性.首先与棱l成某一锐角的平面有多个（比如在正n棱锥中，每个侧面与高所成角相等），于是得到的AOB也会有多个，其次多个AOB的大小是确定的吗？显然不是，下面我们通过一个例子来说明.如图6，设圆柱OO的底面半径和高都为1，点B是半圆弧AC的中点.在直二面角BOOA中，过点O作与棱OO所成角为33arcsin的平面有多个，其中的一个平面是面BOA，且面BOA面AOOAO，面BOA面BOOBO，于是得到BOA.由于三角形BOA为正三角形，故060BOA.如图7，设圆弧CB和圆弧BA的中点分别为D和E，则平面DEO和棱OO所成角也是33arcsin.设FOBDE，则面DEO面AOOAO，面DEO面FOOBO，于是得到FOA，因为OA面OBO，所以三角形FOA是直角三角形，故090FOA.注意BOA和FOA都是用与棱OO成相同锐角33arcsin的平面截同一个二面角BOOA所成“平面角”，然而BOAFOA.因此，用与棱成相同锐角的平面去截同一个二面角，这样的平面有多个，且得到的多个“平面角”可能不相等，从而这种方式无法度量二面角的大小.事实上，当射线与棱不垂直时，等同于截面与棱成某一锐角.学生提出的“当射线OA、OB与棱l不垂直时，AOB的大小与点O在l上的位置也无关”，相当于与棱成锐角的截面AOB上下平移时形成的AOB的大小不改变.然而，与棱成同一锐角的截面还可以是由面AOB以棱为轴旋转得到的平面，在旋转过程中产生的AOB的大小会发生改变.在线线角的角度看来，学生的问题只能用最值性来解释要求射线与棱垂直的好处，从而说明教材的定义具有合理性.在截面等价定义的角度看来，两条与棱不垂直的射线形成的角不具有唯一性和确定性，自然不能叫做二面角的平面角.教材的定义中要求射线与棱垂直，等同于截面定义中要求截面与棱垂直.在教材定义中，垂直棱的射线具有唯一性，在截面等价定义中垂面具有唯一性.教材以思考题的方式来说明AOB的大小与点O在l上的位置无关，等同于截面定义中垂面上下平移不改二面角的平面角的大小，而且垂直棱的截面在以棱为轴旋转时截面不改变，于是二面角的平面角也不改变，从而要求射线与棱垂直的定义在等价为截面定义时，保持了唯一性，兼顾了双重不变性.因此，要求射线与棱垂直的定义最具有优美性.教材为什么以线线角的方式给出二面角的平面角的定义呢？是因为这种方式最易于想到、便于作出、易于操作直观感知.从线面角的角度探究进一步说明了这样的角具有最值性，而且这种最值性的探究比线线角的最值性更易于让学生接受，有助于学生认识空间角之间的联系.从截面的角度探究，又一次说明了教材给出的定义具有唯一性和确定性，而且在经历这种探究的过程中，有助于学生深刻地理解线面之间的关系，深刻地理解定义.教学中，如果学生较好的话，不妨从以上两方面探究一下，或在校本选修课中不妨开设这么一课.参考文献：[1]孙琪斌，刘国平.二面角教学随想[J].数学教学，2007（4）：7-9.[2]陶兴模，曾昌涛.二面角教学中值得注意的一个问题[J].上海中学数学，2006（11）：10-11.邮箱：[e-mail]电话：[phone]地址：重庆市渝中区平安街159号重庆复旦中学竹园校区邮编：400016谢林个人简介：男，1981.9.基础数学专业硕士.重庆复旦中学数学教师.中学一级教师.已发表论文4篇：在《数学研究与评论》发表论文“Onw-linkedOverrings”2011,Vol.31,No.2,pp.337–346在《教学月刊》发表论文《“二面角”教学分析与建议》2013（3）在《中等数学》发表论文《一道自主招生考试题的深入探讨》2011（6）在《上海中学数学》发表论文《对二面角的平面角定义合理性的探究》2013（6）