随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程

第四章随机分析及均方微分方程第一节二阶矩过程第二节均方极限第三节均方连续性第四节均方导数第五节均方积分第六节均方黎曼—司蒂吉斯积分第七节均方导数与均方积分的分布第八节均方微分方程第一节二阶矩过程定义若随机过程{)(tX,Tt}，对任意Tt，有)(tm)]([tXE]))()([()(2tmtXEtD则称为二阶矩过程首页例1其中和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，解由于和V都服从正态分布，所以也具有正态分布，设VtXtX0)(，bta，0X试判断)(tX为二阶矩过程。0X)(tX且)]([)(tXEtmX][0VtXE0][][0VtEXE)]()([),(2121tXtXEttK)])([(2010VtXVtXE][][22120VEttXE211tt令ttt21，得)(tDX21t故)(tX为二阶矩过程。首页性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证)](),(cov[),(2121tXtXttK)]}()()][()({[2211tmtXtmtXE由许瓦兹不等式得22211221|)]}()()][()({[||),(|tmtXtmtXEttK})]()({[})]()({[222211tmtXEtmtXE)]([)]([21tXDtXD故221|),(|ttK即二阶矩过程的协方差函数存在)(tX注二阶矩过程的相关函数),(21ttR也一定存在。首页说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返回首页第二节均方极限一、均方收敛定义1设随机变量序列{，n=1,2,…}和随机变量X都存在二阶矩，nX如果0])[(lim2XXEnn则称{}均方收敛于X，nX或称X是{}的均方极限nX记作XXnnl.i.m或简记为XXnl.i.m首页二、均方收敛准则定理1柯西准则则均方收敛的充要条件为nX证只证必要性因为均方收敛于X，所以有设{nX,n=1,2,…}是二阶矩随机变量序列，0])[(lim2mnmnXXEnX0])[(lim2XXEnn0])[(lim2XXEmm首页又由所以故0])[(lim2mnmnXXE22)]()[()(XXXXXXmnmn22)(2)(2XXXXmn当n，m时，得])[(lim02mnmnXXE]})[(lim])[(lim{222XXEXXEmmnn0首页注等价存在其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。nX三、均方收敛性质性质1若则0])[(lim2mnmnXXE)(limmnmnXXEXXnl.i.m)(][limXEXEnn)nXE(l.i.m证由许瓦兹不等式得2|)()(|XEXEn2|)(|XXEn2||XXEn因故得证0])([lim2XXEnn注当均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望nXnX首页性质2若则证由许瓦兹不等式得XXnl.i.mYYnl.i.m)(][limXYEYXEmnmn)nnYXEl.i.m(l.i.m|)(||)()(|XYYXEXYEYXEmnmn|)])(()()([|YYXXYXXYYXEmnnm|])[(||)]([|YXXEYYXEnm|)])([(|YYXXEmn2122]})()({YYEXEm212)}(])[({YEXXEn2122]})[(])[({YYEXXEmn因0])([lim2XXEnn0])([lim2YYEnn故得证首页性质3若则对任意常数a、b都有证因为XXnl.i.mYYnl.i.m故得证bYaXbYaXnn)(l.i.m2)]([bYaXbYaXEnn2)]()([YYbXXaEnn])[(2])[(22222YYEbXXEann0n首页性质4若则注因XXnl.i.mYXnl.i.m=YX若1)(YXP，则称X与Y相等证][][2][])[(222YEYXEXEYXEnnnXXnl.i.m])[(2YXEYXnl.i.m0][][2][222YEYEYE于是1)(YXP即YX返回首页第三节均方连续性均方收敛定义1即则称在点t均方连续。设随机变量{)(tX，),(t}为二阶矩过程若对某一确定的),(t，有)()(0tXhtXhl.i.m0]))()([(lim20tXhtXEh)(tX一、均方连续0]))([(lim200XtXEtt称在时均方收敛于)(tX0tt0X首页二、均方连续准则定理1则证充分性设随机变量{)(tX，),(t}为二阶矩过程),(tsR为其相关函数，)(tX在t处均方连续),(tsR在),(连续设),(tsR在),(连续则]))()([(lim20XhXEh),(),([lim0hRhhRh)],(),(RhR0所以)()(0XhXhl.i.m首页再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证设)(tX在处均方连续，）（)()((),(kXhXEkhR),()()(),(lim00RXXEkhRkh）（即),(tsR在),(连续。如果),(tsR在{),(tt，),(t}处连续，则),(tsR在{),(ts，),(,ts}处连续。因),(tsR在{),(tt，),(t}处连续，由定理1知，)(tX在t),(点均方连续，即对于),(,ts，有首页再由均方收敛性质2，得即)()(0sXhsXhl.i.m)()(0tXhtXhl.i.m),(lim00kthsRkh)]()([lim00ktXhsXEkh),()]()([tsRtXsXE),(tsR在{),(ts，),(,ts}处连续。首页定理3则证由均方连续定义若二阶矩过程{)(tX,Tt}是均方连续的，)]([)]([lim0tXEhtXEh0]))()([(lim20tXhtXEh从而)]([lim0htXEh)]([)(0tXEhtXhE）（l.i.m说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。首页例1试讨论其均方连续性。解泊松过程的均值、方差函数为则相关函数设{)(tX,0t}是具有参数为的泊松过程，ttXEtm)]([)(ttXDtD)]([)(若ts0，)]()([),(tXsXEtsR)]}()()()[({sXsXtXsXE)]()([)]([)]([2sXtXEsXEsXE)()]([)]([2stssmsXDstsstsss22)()(首页同样因此由于当st0时，有stttsR2),(sttstsR2),min(),(),(tsR在（t，t）处二元连续故)(tX在0t时均方连续。注此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。返回首页第四节均方导数一、均方导数的定义定义1如果均方极限存在设随机变量{)(tX，),(t}为二阶矩过程对于确定的),(t，0hl.i.mhtXhtX)()(则称在t处均方可微，)(tX并将此极限记作)(tX称为)(tX在t处的均方导数即有)(tX0hl.i.mhtXhtX)()(或0)()()(lim20tXhtXhtXEh首页二次均方可微二阶均方导数定义2广义二次可微存在若{)(tX,),(t}在t处均方可微，则称)(tX在t处二次均方可微)(tX的均方导数记为)(tX设),(tsR为随机过程{)(tX,Tt}的相关函数，若它在),(ts点当0,kh时，极限khtsRktsRthsRkthsRkh),(),(),(),(lim00则称),(tsR在),(ts处广义二次可微，而此极限称为),(tsR在),(ts处广义二阶导数首页二、均方可微准则定理1证设{)(tX,),(t}为二阶矩过程，则)(tX,),(t在t处均方可微的充要条件是其相关函数),(tsR在),(tt处广义二次可微。由均方收敛准则知0hl.i.mhtXhtX)()(的充要条件是ktXktXhtXhtXEkh)()()()(lim00存在而khttRkttRthtRkthtR),(),(),(),(当0,0kh时正是),(tsR在),(tt处广义二次可微。存在首页三、均方导数的性质性质1性质2设)(tX和)(tY均方可微，a，b为常数，则)(taX)(tbY也均方可微，且dtd[)(taX)(tbY]dttdXa)(dttdYb)(设)(tX为均方可微，)(tf为一个普通可微函数，则)(tf)(tX也均方可微，且dtd[)(tf)(tX])()(tXdttdfdttdXtf)()(首页性质3性质4设)(tX在t处均方可微，则)(tX在t处均方连续。设)(tX均方可微，),(tsR为其相关函数，则)]()([),(tXsXEtsRs)]()([),(tXsXEtsRt)]()([),(),(22tXsXEtsRsttsRts证1首页其它类似可证性质5)]()([tXsXE0hEl.i.m)()()(tXhsXhsXEh0lim)()()(tXhsXhsX0limhhtsRthsR),(),(),(tsRs若XtX)(，YtX)(，则YX首页四1．证)()(tYtX的均值、相关函数与)(tX的关系均方导数)()(tXtY的均值)(tmY)]([)]([tXEdtdtXE)(tmY)]([tXE0hEl.i.mhtXhtX)()(Eh0limhtXhtX)()(0limhhtXEhtXE)]([)]([)]([tXEdtd注均方导数的均值等于均值函数的导数。而为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。)(tX)]([tXE首页2.证)(tX和)()(tXtY的互相关函数),(),(tsRttsRXXY),(),(tsRstsRXYX)]()([),(tYsXEtsRXYhtXhtXhsXE)()(0)(l.i.mhh1lim0)]()()()([tXsXhtXsXEhh1lim0)],(),([tsRhtsRXX),(tsRtX首页注求偏导数得到。3．随机过程)(tX和其均方导数过程)(tY的互相关函数),(tsRXY，),(tsRYX可以通过),(tsRX分别对变量s和t)()(tXtY的相关函数),(tsRY),(2tsRtsX证明)]()([),(tYsYEtsRY)()()(0tYhsXhsXhEl.i.mhh1lim0)]()()()([tYsXtYhsXE首页即同理可得hh1lim0)],(),([tsRthsRXYXY),(tsRsXY),(tsRY),(tsRsXY),(tsRY),(tsRtYX又因),(),(tsRttsRXXY),(),(tsRstsRXYX故),(tsRY),(2tsRtsX首页注