基于几类空间中微分概念的研究

基于几类空间中微分概念的研究凌兴乾𝟏摘要:本篇文章将映射的微分的一些相关概念分别在有限维空间和无限维空间，函数空间和泛函空间中进行了比较，并将偏微分，全微分，梯度等概念在无限维空间和泛函的距离空间中进行了一定的推广，在泛函空间中，按照形式，给出了方向导数、偏导数、全微分、梯度的定义；在有限维空间与无限维空间中，给出了两种空间下方向导数与全微分之间的关系。关键词：方向导数、全微分、Gateaux导数、Frechet微分、变分、线性泛函引言我们知道，同一种概念，在不同的两类空间中，往往是两种截然不同的形式。而对于空间的分类而言，通过从其结构的不同属性入手，可以将空间分为多种类别，例如，欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间、拓扑空间等等。这里我们就先从较为简单的属性—空间的维度入手，即从两类空间有限维和无限维空间入手，比较在这样两类空间中同一种概念的相关性质，并将有限维函数空间的与微分相关的某些概念推广到无限维空间中。而映射的连续性与映射的微分，作为分析学中两个最基本的概念，我们不妨先从映射的微分入手，来比较它们在有限维空间跟无限维空间的形式和结构。有限维空间的微分在数学分析中，我们知道了一元函数的导数概念，为了讨论多元函数的可微性与相关应用，我们引入了全微分的概念；进一步通过多元函数中偏导数的概念知道了函数在坐标轴方向上的变化率，然而为了知道其他特定方向上的变化率，在数分里介绍方向导数的概念，在这里我们先简单的介绍一下它们的定义。1.1全微分设函数g=f(x,y,z)在点𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)的某领域U(𝑃0)上有定义，对于U(𝑃0)中的点P(x,y,z)=(𝑥0+∆𝑥,𝑦0+∆y,𝑧0+∆z)，若函数f在点𝑃0处的全增量∆g表示为∆g=f(𝑥0+∆𝑥,𝑦0+∆y,𝑧0+∆z)−f(𝑥0,𝑦0,𝑧0)=𝐴∆𝑥+B∆y+C∆z+o(ρ)其中A,B,C是仅与点𝑃0有关的常数，ρ=√∆𝑥2+∆𝑦2+∆𝑧2，则称函数f在𝑃0可微，并将关于∆𝑥,∆y的线性函数𝐴∆𝑥+B∆y+C∆z为函数f在𝑃0处的全微分，记作dz|𝑃0=𝑑f(𝑥0,𝑦0)=𝐴∆𝑥+B∆y+C∆z。而偏导数作为多元函数在其中一个自变量的增量，定义如下：设函数g=f(x,y,z)，(x,y,z)∈D，若(𝑥0,𝑦0,𝑧0)∈D，且f(𝑥,𝑦0,𝑧0)在𝑥0的某一邻域内有定义，则当极限lim∆𝑥→0∆𝑥𝑓(𝑥0,𝑦0,𝑧0)∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑓(𝑥0+∆𝑥,𝑦0,𝑧0)−𝑓(𝑥0,𝑦0,𝑧0)∆𝑥存在时，称这个极限为函数𝑓在点(𝑥0,𝑦0,𝑧0)关于𝑥0的偏导数，记作𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0,𝑧0)。从图像上来看，由偏导数的概念，我们知道了在坐标轴方向上函数的变化率，然而为了知道各个方向上的变化率，又进一步给出方向导数的定义。方向导数设设三元函数f在点𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)的某领域U(𝑃0)上有定义，𝑙为从点𝑃0出发的射线，P(x,y,z)为𝑙上且含有U(𝑃0)内的任意一点，以ρ表示P与𝑃0两点间的距离，若极限lim𝜌→0+𝑓(P)−𝑓(𝑃0)𝜌=lim𝜌→0+∆𝑙𝑓𝜌存在，则称此极限为函数𝑓在点𝑃0沿方向𝑙的方向导数，记作𝜕𝑓𝜕𝑙|𝑃0或𝑓𝑙(𝑃0)。通过定义显然可知，函数全微分与偏导数之间的关系如下：一个函数作为各个偏增量线性组合的全微分也可以记作偏导数的线性组合。因此要探究全微分与方向导数之间的关系，等价于探究偏导数跟方向导数之间的关系，故引入以下定理以及梯度的概念，从而方便探究函数全微分与方向导数之间的关系。定理1.1若函数𝑓在点𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)可微，则𝑓在点𝑃0沿任一方向𝑙的方向导数都存在，且𝑓𝑙(𝑃0)=𝑓𝑥(𝑃0)𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑓𝑦(𝑃0)𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑓𝑧(𝑃0)𝑐𝑜𝑠𝛾，其中𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾为方向𝑙的方向余弦。同时，称向量(𝑓𝑥(𝑃0),𝑓𝑦(𝑃0),𝑓𝑧(𝑃0))为函数𝑓的梯度，记作grad𝑓=(𝑓𝑥(𝑃0),𝑓𝑦(𝑃0),𝑓𝑧(𝑃0))。若记函数在(𝑥0,𝑦0,𝑧0)处的增量为∆h，记𝑙方向的单位向量𝑙0=(𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾)，则函数可微时，函数的全微分和方向导数可以表示为下述内积的形式:∆𝑓=(grad𝑓,∆h)𝑓𝑙(𝑃0)=(grad𝑓,𝑙0)。因此，当函数在一点处可微时，函数在该点处的全微分和方向导数都可以表示成梯度与另一向量的内积的形式，并通过这种形式联系在了一起。下面将上述的概念推广至无穷维空间中，而在非线性泛函分析中，介绍了两种最常见的微分，分别是Gateaux意义下的弱微分以及Frechet意义下的强微分，它们分别是数学分析中方向导数和全微分在无穷维空间上的推广，故先介绍这两种概念。在这里先介绍一下这两种概念进行对比，将有限维空间中的方向导数推广到无限维空间中，那就是所谓的Gateaux导数，其定义如下：称映射f:U→Y在𝑥0∈U处沿h∈X方向是Gateaux可微的，简称沿h方向是G—可微的或弱可微的，如果极限Df(𝑥0;h)=lim𝑡→0𝑓(𝑥0+𝑡ℎ)−𝑓(𝑥0)𝑡存在。此时，称Df(𝑥0;h)为𝑓在𝑥0处沿ℎ方向的G-微分或弱微分。若𝑓在𝑥0处沿任何方向都是Gateaux可微的，则称𝑓在𝑥0处Gateaux可微，简称G-可微或弱可微。但一般来说Gateaux导数Df(𝑥0;h)关于h是齐次的，但一般情况不是线性的。以Gateaux导数的定义为基础，我们试着推广出无穷维空间中偏导数的概念:定理2.1设𝑓：R𝑛→𝑅,𝑒𝑖∈𝑅𝑛是单位坐标向量，设𝑥∈𝑅𝑛，此时Gateaux导数D𝑓(𝑥)(𝑒𝑖)为𝑓在𝑥对𝑥𝑖的偏导数。证明：则𝑥=[𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛]𝑇=𝑥1𝑒1+⋯+𝑥𝑛𝑒𝑛，𝑥+𝑡𝑒𝑖=𝑥1𝑒1+⋯+(𝑥𝑖+t)𝑒𝑖+𝑥𝑛𝑒𝑛=[𝑥1,…,𝑥𝑖−1,𝑥𝑖+t,𝑥𝑖+1,…,𝑥𝑛]于是Df(x)(𝑒𝑖)=lim𝑡→0𝑓(𝑥+𝑡𝑒𝑖)−𝑓(𝑥)𝑡=lim𝑡→0𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑖+t,…,𝑥𝑛)−𝑓(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)𝑡则根据数学分析中偏导数的定义，即Df(x)(𝑒𝑖)=𝜕𝑓(𝑥)𝜕𝑥𝑖.即证。接下来，我们给出Frechet微分的定义:定义2.2设如果Df(𝑥0;h)关于h是线性有界的，则它可以表示为Df(𝑥0;h)=Df(𝑥0)h，Df(𝑥0)∈L(X,Y)，其中X、Y为实线性赋范空间，U为X的子集，L(X,Y)表示从X到Y中的有界线性算子全体构成的线性赋范空间。Frechet微分称映射f:U→Y在𝑥0∈U处是Frechet可微的，简称F—可微的，或可微的，如果存在有界线性算子A∈L(X,Y)，使得当h∈X，𝑥0+ℎ∈𝑈时，有𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)=Ah+w(𝑥0,h)，其中w(𝑥0,h)=o(‖ℎ‖)，即lim‖ℎ‖→0‖w(𝑥0,h)‖‖ℎ‖=0。这时称A为𝑓在𝑥0处的Frechet导算子，简称为F—导算子或F—导数。根据Frechet微分和Gateaux导数的概念，下面我们尝试着推出它们间存在着何种联系。定理2.3假设𝑓:R𝑛→R𝑚在x为Frechet可微，则𝑓在x处必为Gateaux可导，且D𝑓(x)=𝑓′(x)。证明：设𝑓′(x)存在，则有lim‖𝑡∆𝑥‖→0‖𝑓(𝑥+𝑡∆𝑥)−𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)(𝑡∆𝑥)‖‖𝑡∆𝑥‖=0,𝑡,𝑥,∆𝑥∈𝑅𝑛即有lim‖𝑡‖→0‖𝑓(𝑥+𝑡∆𝑥)−𝑓(𝑥)𝑡−𝑓′(𝑥)(∆𝑥)‖‖∆𝑥‖=0,𝑡,𝑥,∆𝑥∈𝑅𝑛从而lim‖𝑡‖→0‖𝑓(𝑥+𝑡∆𝑥)−𝑓(𝑥)𝑡−𝑓′(𝑥)(∆𝑥)‖=0,𝑡,𝑥,∆𝑥∈𝑅𝑛(2.1)即证。当𝑓:U→Y时，证明过程类似定理2.3。那么在此基础上讨论Frechet微分𝑓′(𝑥)的矩阵表示形式。设R𝑛,R𝑚都取自然基，𝑓:R𝑛→R𝑚在x∈R𝑚为Frechet可微。于是线性算子𝑓′(x):R𝑛→R𝑚可以用一个m×n矩阵表示。记𝑓′(𝑥)=[𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑚1⋯𝑎𝑚𝑚]=𝐴据(2.1)式有limt→0‖𝑓(𝑥+𝑡𝑒𝑗)−𝑓(𝑥)𝑡−𝐴𝑒𝑗‖=0(2.2)由于𝐴𝑒𝑗=𝑎𝑗=[𝑎1𝑗⋮𝑎𝑚𝑗]，代入(2.2)式，则有limt→0𝑓𝑖(𝑥+𝑡𝑒𝑗)−𝑓𝑖(𝑥)𝑡−𝑎𝑖𝑗=0即𝜕𝑓𝑖(𝑥)𝜕𝑥𝑗=𝑎𝑖𝑗。故𝑓′(𝑥)=𝐷𝑓(𝑥)=[𝜕𝑓1(𝑥)𝜕𝑥1⋯𝜕𝑓1(𝑥)𝜕𝑥𝑛⋮⋱⋮𝜕𝑓𝑚(𝑥)𝜕𝑥1⋯𝜕𝑓𝑚(𝑥)𝜕𝑥𝑛]。特别，若𝑓:R𝑛→𝑅在x∈𝑅𝑛为Frechet可微，则𝑓′(𝑥)=[𝜕𝑓(𝑥)𝜕𝑥1,𝜕𝑓(𝑥)𝜕𝑥2,…,𝜕𝑓(𝑥)𝜕𝑥𝑛]=𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑥)。故给出了当𝑓:R𝑛→𝑅在x∈𝑅𝑛为Frechet可微时，梯度𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑥)的概念。那么反过来，我们考虑当函数𝑓在𝑥0处的Gateaux导数存在时，Frechet微分不一定存在，此时需要加上一定的条件才能保证成立，故给出如下定理。定理2.4若𝑓:U→Y在𝑥0处存在Gateaux导算子，并且极限limt→01𝑡[𝑓(𝑥0+𝑡ℎ)−𝑓(𝑥0)]=𝐷𝑓(𝑥0)ℎ关于‖ℎ‖=1一致的成立，那么，𝑓在𝑥0处Frechet可微。证明：任给ε0，按假设存在与‖ℎ‖=1无关的δ0，使得当|𝑡|𝛿时，‖1𝑡[𝑓(𝑥0+𝑡ℎ)−𝑓(𝑥0)]−𝐷𝑓(𝑥0)ℎ‖𝘀。记ℎ1=𝑡ℎ，于是，只要‖ℎ1‖δ时，就有‖𝑓(𝑥0+ℎ1)−𝑓(𝑥0)−𝐷𝑓(𝑥0)ℎ1‖𝘀‖ℎ1‖按定义，Frechet导数存在且等于Gateaux算子𝐷𝑓(𝑥0)。同时容易得到以下结论，定理2.5设Gateaux导映射D𝑓在𝑥0点连续，则f在𝑥0点处Frechet可微。证明：任给ε0，由𝐷𝑓在𝑥0处的连续性可知，存在δ0，使得当x∈U,‖𝑥−𝑥0‖𝛿时，𝑠𝑢𝑝‖ℎ‖=1‖𝐷𝑓(𝑥)ℎ−𝐷𝑓(𝑥0)ℎ‖𝘀因此，当t𝛿时，对任何‖ℎ‖=1，有‖𝑓(𝑥0+𝑡ℎ)−𝑓(𝑥0)−𝐷𝑓(𝑥0)𝑡ℎ‖=‖∫𝐷𝑓(𝑥0+𝑠𝑡ℎ)𝑡ℎ𝑑𝑠10−∫𝐷𝑓(𝑥0)𝑡ℎ𝑑𝑠10‖≤|𝑡|∫‖𝐷𝑓(𝑥0+𝑠𝑡ℎ)ℎ−𝐷𝑓(𝑥0)ℎ‖𝑑𝑠10|t|𝘀由定理2.4可得，𝑓在𝑥0处Frechet可微。故可得出结论，当𝑓的Gateaux导数D𝑓在区域U内处处连续时，则在U内的每一点处，Gateaux可导与Frechet可微等价。那么下面我们从另外一个角度，比较映射的微分在函数与泛函中分别是什么样的形式与结构，并且尝试着将函数中微分的某些概念推广到泛函中。函数的微分在前面已经介绍过了，因此可以仿照函数微分的概念，将其拓展到泛函中，下面给出变分的概念。定义3.1设J[y]是定义在距离空间X上的泛函，并设𝑦0∈𝑋,称δy=y−𝑦0(∀𝑦𝜖𝑋,𝑦≠𝑦0)为函数y在𝑦0处的变分。这里δy是关于x的函数，反应的是整个函数的变化。记∆J[𝑦0]=