基于小孔成像原理及透镜畸变现象的相机标定模型

队号：H941基于小孔成像原理及透镜畸变现象的相机标定模型摘要本文就数码相机定位过程中系统标定的实现问题，建立了基于小孔成像原理并考虑透镜径向一阶畸变影响下的寻找靶标圆心像坐标，并由该像坐标确定相机间相对位置的模型。对靶标图像处理时，将图像转换为二值图并用矩阵保存，设计了利用图像边界像素点的性质提取靶标像边缘的计算机算法。为确定靶标上圆心在相机像平面上的像坐标，设计了反映射法和解析法两种方法。在反映射法中根据小孔成像模型将靶标像的边缘反向映射，得到一个圆心点坐标后再将其映射回像平面以确定靶标圆心像坐标。不考虑透镜一阶径向畸变对成像的影响时，计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.41,194.78)，B(-89.25,187.21)，C(127.01,171.14)，D(-227.54，-117.54)，E(70.5552，-118.96)；考虑透镜一阶径向畸变对成像的影响时，将小孔成像模型进行修正后，计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.59,194.99)，B(-89.32,187.37)，C(127.81,171.29)，D(-227.75，-117.66)，E(70.62，-119.05).在解析法中利用小孔成像原理得出靶标上圆的边界点与像平面上像的边界点之间的解析关系，建立超定方程组，解此方程组得到圆心像坐标。用解析法计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.27,194.60)，B(-89.21,187.17)，C(127.01,171.49)，D(-227.55，-117.58)，E(69.98，-118.12).根据靶标上圆心的像坐标及各圆心之间的距离，得到靶标上各圆心在相机坐标系中的坐标。利用标靶各圆心分别在两个相机坐标系中的坐标，由空间直角坐标系的转换方法可计算得到两相机坐标系间的转换参数，由此转换参数即可得到两相机之间的相对位置。对确定靶标圆心像坐标模型中的算法精度进行模拟检验，结果表明算法精度较高。利用灵敏度对模型的稳定性进行了分析，并具体计算出以靶标中圆E为例，反映射法和解析法两种方法的灵敏度值为0.14,0.07。最后对模型进行了评价。关键字：系统标定小孔成像透镜径向一阶畸变反映射法解析法坐标系转换参数灵敏度队号：H942一、问题的重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。数码相机定位，是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。数码相机的定位可以用双目定位（即用两部相机来定位）的方法实现，步骤如下：1．用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得物体上的特征点在两部相机像平面上的坐标。2．确定两部相机精确的相对位置。3．用几何的方法得到特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。对于双目定位，精确地确定两部相机的相对位置是确定特征点的关键，这一过程也称为系统标定。标定的一种实际做法是，在物平面上画若干个圆（称为靶标），同时用两部相机照相，分别得到这些圆在它们像平面上的像。以圆心为靶标的特征点，找出这些圆的圆心在像平面上对应的像点，利用两张照片中两组点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。但靶标上圆的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定才可实现。现已知某靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图1靶标上圆的像图2靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。队号：H943图3靶标的像我们需要做的是：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验已建立的模型，并讨论方法的精度和稳定性；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题的分析2.1相机定位模型的整体分析利用双目定位的方法进行相机定位时，精确地确定两部相机的相对位置即系统标定是关键。在系统标定过程中，由于无法在物平面或像平面上直接得到没有几何尺寸的“点”，只能在物平面上画若干个圆作为靶标用两部相机对其进行拍摄，然后，在拍摄到的像中找出两组圆的圆心的像坐标，再利用圆心像坐标确定出两组圆心的几何关系，进而确定出两部相机的相对位置。由此可知，在以圆作靶标的系统标定方法下，可将系统标定分作一下两个关键步骤：1.由靶标的像确定靶标上圆的圆心在相机像平面中像坐标；2.由两组在不同相机像平面上的圆心像坐标确定出两相机的相对位置。显然，两部相机相对位置的确定依赖于两组圆心像坐标的确定。所以，需先建立用靶标的像来确定靶标上圆的圆心像坐标的模型并设计算法将其求出，再在此基础上建立确定两部相机相对位置的模型。2.2确定圆心像坐标的两种方法分析经典的摄像机模型——小孔成像模型，发现造成拍得的靶标的像出现变形主要是由靶标所在的物平面与像平面不平行导致的。小孔成像模型是摄像机的理想模型，没有考虑到摄像机本身存在的缺陷等会导致拍摄得到的像出现畸变，而靶标的像出现变形也可能是由于这种畸变造成的。由以上分析可知，靶标的像出现变形是由靶标所在物平面与像平面不平行，以及相机本身缺陷造成图像畸变两方面原因造成的。对于利用像平面上的图形确定靶标上圆的圆心像坐标的问题，我们想到两种可行的方法，以下作具体分析。2.2.1反映射法队号：H944在相机的理想模型—小孔成像模型中，假设一个物平面，则由靶标的像经反向的映射得到一个在该物平面上的图像。改变该物平面，使该物平面与相机像平面呈不同的角度，则可反向映射得到在该物平面上的不同图像。当这个物平面与靶标所在的物平面平行时，由于小孔成像模型是线性呈像，则靶标的像反映射到这个物平面上形成的像与靶标上的圆是相似，也是一个圆。相反，当靶标的像影射到该平面所形成的图象为圆时，该平面与靶标所在的平面平行，这时该圆心映射到像平面上的点即为靶标上圆的圆心在像平面上的像点。考虑相机自身缺陷造成图像畸变时，简单起见，只考虑一阶径向畸变的影响，对理想的小孔成像模型作修正。2.2.2解析法解析法确定靶标上的圆的圆心像坐标主要基于数学解析计算。直接建立靶标平面与像平面之间的空间关系，得到与中图形外轮廓上对应像素点之间满足的空间变换方程。因中的点满足圆的方程，从而可推导出中每个对应点满足的方程，并建立起一个关于圆心像坐标及其它参数的超定方程组。为寻找一个对所有方程适应度最大的解，可运用最小二乘的原理，寻找一个解使其在所有方程构成的解空间中对每一方程的偏移度最小。由此就可以得到圆心位置的最优解。2.3检验模型精度与稳定性的分析一个模型的精度应是指计算结果与实际情况的偏离程度，由于我们无法真实再现整个空间拍摄过程，所以考虑运用模拟实际成像的方法做出检验。具体为，在固定像平面的情况下，随机生成一个在空间中靶标平面，并生成某一大小的圆；通过小孔成像，在像平面上得到圆的像覆盖的像素点集，以及圆心像在像平面内的坐标；再用我们设计的计算方法求解圆心像在像平面内的坐标，对比两者之间的差值，就能检验模型的精度。由于在相机拍摄过程中焦距无法完全合适及相机本身的原因，使拍摄出的图像的边界处会出现模糊，具体表现为图像边界处像素点的不稳定，我们用“噪音”来描述这种图像边界像素点的不稳定情况。这种不稳定会影响靶标上圆的圆心像坐标的计算，使计算结果产生一个随机误差。为测定稳定性，我们可以人为加入“噪音”，即用人为移动像的边界像素点来实现。具体可以用泊松分布来随机产生边界像素点在x轴方向和y轴方向上的移动点数，再在有噪音的情况下计算圆心像的坐标，比较它与无噪音时求出的坐标的不一致程度，就可以检验模型的稳定性。2.4确定两相机空间位置关系的分析由于是以相机的光学中心为坐标系原点，所以有两个相机便存在两个空间直角坐标系，在这两个坐标系中，靶标上圆的圆心有不同的坐标，而靶标上圆的圆心是这两个坐标系的公共点，也就是说，靶标上圆的圆心将两个分别以两部相机的光学中心为原点的坐标系联系起来。所以，考虑到求出靶标上圆的圆心在两个不同坐标系中的坐标，使用空间直角坐标转换的方法，便可求得以两相机光学中心为原点的两个坐标系间的转换关系，从而也就求得了两相机间的相对位置关系。若要求得靶标上圆的圆心在两个不同坐标系中的坐标，需要利用靶标上圆的圆心像坐标。过靶标上圆的圆心像坐标和原点作直线，该直线即为映射光线，令该直线与空间某平面相交于一点。过5个圆心像坐标分别作5条直线，与平面相队号：H945交于5个点，这5个点之间的距离与靶标平面上5个圆心间的距离越接近，则空间中的这个平面越接近于靶标所在的平面，所作直线与平面的交点也就越接近于靶标上圆的圆心，交点的空间坐标即可作为靶标上圆心的空间坐标。三、基本假设1.所用相机的像距均为1577个像素单位（毫米约为3.78个像素单位），其分辨率为1024×768。2.两部同时拍摄的相机具有相同的属性。3.所的图象的边缘像素点分布基本均匀。四、名词解释与参变量说明4.1名词解释1．数码相机定位：是指用数码相机摄制物体的相片来确定物体表面某些特征点的位置。2．双目定位：是数码相机定位种最常用的方法，即用两部相机来定位，以确定特征点的位置。3．系统标定：精确确定两部相机相对位置的过程。4．靶标：用于确定两相机相对位置的设计的物平面，其上有若干个圆。5．像距：相机光学中心到像平面的距离。6．物距：相机光学中心到拍摄实物的距离。7．像素单位：它表征空间距离，1个像素单位约为78.31个毫米。8．相机分辨率：表征像平面长宽由多少个像素单位构成。9．超定方程组：方程个数多于变量数的方程组。10．畸变系数：表征相机拍摄过程中非线性失真的大小。10．噪音：描述图像边界像素点的不稳定情况。4.2参变量说明参变量定义单位物平面像平面d相机像距像素),,(dyxii中第i个圆圆心的像在平面中的坐标),,(000ZYX即在以相机A的光学中心为坐标原点的坐标系中，相机B的光学中心的坐标l灵敏度k畸变系数五、模型的建立5.1建模前的准备（像平面上像的边界点提取）将数码相机摄得的靶标的图像保存为.bmp格式的单色位图，得到由黑白两种颜色组成的0-1图或二值图。使用MATLAB软件直接读入此.bmp格式文件，可得到靶标像所成的图的矩阵队号：H946保存形式，其中的每个元素代表相应图中的像素点，如第i行、第j列元素代表图中第i行的第j个像素点。靶标像所成的图为二值图，在靶标像图矩阵中某元素为0表示该像素点为黑色，为1表示该像素点为白色。这样，靶标的像图就表示为一个0-1矩阵。又由于相机分辨率为1024×768，所以靶标像图矩阵为一个768行，1024列的0-1矩阵。为提取像的边界点，观察像平面上像的边界点及其周围的像素点，可以看出，像的边界点为黑色，且上、下、左、右四个方向上的相邻像素点中存在白色的像素点。所以，在靶标像图矩阵中，表征边界像素点的矩阵元素为0，且该元素上、下、左、右四个方向上的相邻元素中存在值为1的元素。由此可见，对靶标像图边界像素点的搜索过程可以转换为对靶标像图矩阵元素的搜索。5.2建立确定圆心像坐标的数学模型与算法设计5.2.1不考虑相机畸变影响下的模型在系统标定过程中，需要通过分析不同方位的相机对同一靶标拍摄的像之间的几何关系，来确定两部相机的空间相对位置。而这其中的关键，就是在同时考虑相机拍摄角度与透视原理对成像的影响下，找出靶标中圆的圆心在像中的位置。先不考虑相机畸变因素对模型的影响，并将相机拍摄实物的过程近视为一个针孔成像的过程，此时我们分别从两种不同的思路建立了求解圆心像位置的模型，得到了非常相似的结果。（1）第一种方案（反映射法）1)原理阐述及目标函数的确立此模型首先运用针孔成像