对数函数基础运算法则及例题,答案

对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(，值域为),(．对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.(4)NnNanalog1log对数函数的图像及性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(x时0y),1(x时0y)1,0(x时0y),1(x时0y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011例1．已知x=49时，不等式loga(x2–x–2)＞loga(–x2+2x+3)成立，求使此不等式成立的x的取值范围.解：∵x=49使原不等式成立.∴loga[249)49(2]＞loga)3492)49(1[2即loga1613＞loga1639.而1613＜1639.所以y=logax为减函数，故0＜a＜1.∴原不等式可化为322032022222xxxxxxxx，解得2513121xxxx或.故使不等式成立的x的取值范围是)25,2(例2．求证：函数f(x)=xx1log2在(0,1)上是增函数.解：设0＜x1＜x2＜1，则f(x2)–f(x1)=212221loglog11xxxx21221(1)log(1)xxxx=.11log21122xxxx∵0＜x1＜x2＜1，∴12xx＞1，2111xx＞1.则2112211logxxxx＞0，∴f(x2)＞f(x1).故函数f(x)在(0,1)上是增函数例3．已知f(x)=loga(a–ax)(a＞1).（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.解：（1）由a＞1，a–ax＞0，而a＞ax，则x＜1.故f(x)的定义域为(-∞,1)，而ax＜a，可知0＜a–ax＜a，又a＞1.则loga(a–ax)＜lgaa=1.取f(x)＜1，故函数f(x)的值域为(–∞,1).（2）设x1＞x2＞1，又a＞1，∴1xa＞2xa，∴1xaa＜a-2xa，∴loga(a–1xa)＜loga(a–2xa)，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(1,+∞)上为减函数.