对测高测距问题的思考4

对“测高测距”问题的思考陈思创何玉数学在日常生活中有着广泛的应用，通过解直角三角形这一章的学习，我们更加深刻地认识到这一道理。我们通过对这一章“测高测距”问题的探究，总结了一些规律，下面就是我们探究所得的规律，如有不妥不处，请多多指教。一、五个问题的解决问题1：如图，一船以40海里/时的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°，继续航行1h到达B处，已知灯塔C四周10海里内有暗礁，问这船继续向东航行是否有触礁危险？解：作CD⊥AB于点D，设CD=x海里∵在Rt△ACD中，tan∠RAD=ADCD∴AD=30tanx=3x=x3∵在Rt△CBD中，tan∠CBD=BDCD∴BD=60tanx=3x∵AD－BD=AB∴x3－3x=40∴x=203∵203海里＞10海里因此，这艘船继续向东航行无触礁危险。问题2：如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩安徽”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行40米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为45°，小明的身高与点C的高度一致，则宣传条幅BC长为多少？（结果保留根号）解：由题意得，∠F=30°，∠BEC=∠EBC=45°，EF=40m设BC为x在Rt△FBC中由tanF=FCBC得FC=FBCtan=30tanBC=x3在Rt△EBC中由tan∠BEC=ECBC得EC=BECBCtan=45tanBC=x又∵FC－EC=EF∴x3－x=40∴x=2)13(40=20（)13(答：宣传条幅BC长为20)13(米。问题3：永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一，某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度，如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进40m至D处，测得最高点A仰角为60°，求该兴趣小组测得摩天轮高度AB（测角仪的高度不计）。解：由题意得，∠C=45°，∠ADB=60°，CD=40m，设AB=x在Rt△ABC中，由tanC=CBAB得CB=CABtan=x在Rt△ADB中，由tan∠ADB=DBAB得DB=ADBABtan=3x又∵CB－DB=CD∴x－3x=40x3－x=403∴X=13340=2)13(340=)13(320答：摩天轮高度为20)13(3m。问题4：如图，小明要测量对岸小岛B与海岸线（直线）的距离，海岸线上有两个观察站A点和C点，在A处测得∠BAD=45°，在C处测得∠BCD=75°，已知A、C、D在同一条直线上，其中AC=40海里，你能求出小岛B到海岸线的距离BE吗？解：过C点作CD⊥AB于D点∵在Rt△ADC中，sin45°=ACCD∴CD=sin45°×40=22×40=202∴CD=AD=202∵在Rt△BDC中，∠DBC=∠BCE－∠BAC=70°－45°=30°∴tan30°=BDDC∴BD=3tanDC=33220=206∴AB=AD+BD=206+202∵在Rt△BAE中，sin45°=ABBE∴BE=22×（206+202）=203+20=20)13(答：小岛B到海岸线的距离BE为20)13(海里。问题5：如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上，求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里。（结果保留根号）。解：过B点作BC⊥AP交AP于点C∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°且AB=40∴BC=21AB=21×40=20∵在Rt△ABC中，cosA=ABAC∴AC=AB·cos30°=40×23=203∵∠PBD是△ABP的一个外角∴∠BPC=∠PBD－∠A=75°－30°=45°∴PC=BC=20∴AP=AC+PC=203+20∴在Rt△PAD中，∠PAD=30°∴PD=21PA=21（203+20）=10（3+1）（海里）答：灯塔P到轮船航线的距离为10（3+1）（海里）。二、变换探究将上述实际问题进行图形变换，可以得到以下五种相应的情形：在△ABC中，∠A、∠B为锐角，CD⊥AB于D，AB=a，设CD为x①当∠A=30°，∠B=60°时解：∵在Rt△ADC中，∠A=30°∴tan30°=ADCD∴AD=30tanCD=33x=x3∵在Rt△CDB中，∠B=60°∴tan60°=BDCD∴BD=60tanCD=3x又∵AD+BD=AB=a∴x3+3x=a∴x=341a②当∠A=30°，∠B=45°时，解：∵在Rt△BDC∠B=45°∴CD=DB=x∵在Rt△ADC中，tanA=ADCD∴AD=30tanCD=33x=x3又∵AD+DB=AB=a∴x+3x=a∴x=a)13(21③当∠A=45°，∠B=60°时解：∵在Rt△ADC中，∠A=45°∴AD=CD=x∵在Rt△BDC中，tanB=BDCD∴BD=tan60CD=3x∵AD+BD=AB∴x+3x=a∴x=a）（1-3321④当∠A=45°，∠B=75°时解：过B点作BE⊥AC于点E，∵BE⊥CA且∠A=45°∴AE=BE∵在Rt△AEB中，sin45°=ABBE∴BE=sin45°×AB=22a∵在Rt△CAD中，∠A=45°∴∠ACD=45°∵在Rt△CDB中，∠CBD=75°∴∠BCD=15°∵∠ACB=60°∴在Rt△CEB中，tan60°=CEBE∴CE=CEBE=a66∵CD=ABBEAC∴CD=aaaa)6622(22=a42+a63=a)13(361⑤当∠A=30°，∠B=75°时解：∵∠A=30°，∠B=75°∴∠ACB=75°∴AC=AB=a在Rt△ACD中∵∠A=30°∴CD=AC21=a21三、分析归纳，总结规律由上述各题的计算结果，我们不难得出以下规律：图形（AB=a）∠α=30°，∠β=60°a321a341∠α=30°，∠β=45°a)13(21a)13(21∠α=45°，∠β=60°a)13(321a)13(321∠α=30°，∠β=75°a)13(41a21∠α=45°，∠β=75°a)13(21a)13(361通过这次探究，我们不仅发现了解直角三角形在实际生活中有很多应用，以及它的相关规律，而且还领悟到了数学学习的一些方法。其实，只要我们学会思考，学会观察，学会总结，那么就一定会有意想不到的收获！2011年12月（本文作者：何玉，系906班班长，陈思创，系907班数学科代表）[指导教师:郑玉兵]