基于机器视觉之小波变换

2020/1/31小波分析发展历史1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文1910年Haar提出最简单的小波1980年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。基于小波变换的检测方法小波变换与傅立叶变换，是都用信号在一簇基函数张成空间上的投影表征该信号。2020/1/321988年Mallat提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。2020/1/33小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。2020/1/34“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。2020/1/35小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B2020/1/36小波的3个特点小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2020/1/37小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基2020/1/38信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时频分析的主要方法：t(t))(-tj-defFdeFf-tj)(21(t)傅立叶变换傅立叶逆变换2020/1/39t=0:0.001:1.3;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t)+sin(2*pi*200*t);f=x+3.5*randn(1,length(t));subplot(321);plot(f);ylabel('幅值');xlabel('时间');y=fft(f,1024);p=y.*conj(y)/1024;ff=1000*(0:511)/1024;subplot(322);plot(ff,p(1:512));ylabel('功率谱密度');xlabel('频率');2020/1/3102020/1/311反映傅立叶变换缺点的一个例子：2020/1/312傅立叶变换的缺点：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换不能把时域特征和频域特征有机结合。2020/1/313解决傅立叶变换缺点的方法：2020/1/314经典的傅立叶变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，能较好地刻划信号的频率特性；但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这给理论研究和实际应用都带来了许多不便。小波分析优于傅立叶分析之处在于：小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，2020/1/3151909:AlfredHaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)2020/1/3161945:Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)(,)()where:()signal()=windo(wing)functionjtgSTFTstedtstgttSTFT的时间-频率关系图2020/1/3172.小波分析的定义和特性所谓“小波”，就是小的波形。“小”指它有衰减性，“波”是指它的波动性。小波是由满足条件的函数，通过平移与伸缩而产生的函数族。用数学语言描述如下：设，且满足（或），函数及其傅里叶变换都有足够快的衰减，则按如下生成的函数族Rdxx0)()()(2IRLx)()()(21IRLIRLX0)(dxx)(x0)0(ˆ)(ˆx)(,xab2020/1/318称做连续小波。ψb,a(x)称做基小波，其中a是尺度（膨胀）参数，b为平移位置。),()(1)(,Rababxaxab2020/1/319小波分析/小波变换变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系小波变换:对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换通过平移母小波获得信号的时间信息;通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性。对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系。傅立叶变换:提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息小波分析中常用的三个基本概念连续小波变换离散小波变换小波重构2020/1/320连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好2020/1/321对函数f∈L2(IR)的积分小波变换的定义为xabxxfadxxfabfWRRabd)()(),)((21,(,)()(,,)Cscalepositionftscalepositiontdt该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数2020/1/322缩放(scaled)的概念例1：正弦波的算法2020/1/323缩放(scaled)的概念(续)例2：小波的缩放2020/1/324平移(translation)的概念2020/1/325离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)缩放因子和平移参数都选择2j(j0的整数)的倍数，这种变换称为双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)小波变换分析图j2kj2)2(2)(2/,kttjjkj采样网格点对应的尺度为，而平移为由此得到二进小波：2020/1/3263.小波变换中需要选择小波基波，这与Fourier变换不同。Fourier变换不需要选择基波，其基波是规则的、可预测的；而小波基波是不规则的，不同的小波基波其波形形状差别很大。因而，对同一个信号选用不同的小波基波进行信号处理，往往得到的结果差别较大，这必然影响最终的处理结果。如何选择小波基波？目前还没有一个理论标准。但是，小波变换的小波系数为如何选择小波基波提供了依据。2020/1/327小波变换后的小波系数表明了小波与被处理的信号之间的相似程度，如果小波变换后的小波系数比较大，就表明小波和信号的波形相似程度比较大；反之，则比较小。另外，还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。如果小波变换仅反映信号整体的近似特性，往往选用较大的尺度；如果反映信号在细节上的变化，则选用尺度较小的小波。由于小波函数家族成员较多，进行小波变换的目的又各异，因此目前还没有一个通用的标准。不过，在实际运用中已取得了一些经验。2020/1/328在实际中，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别、特征提取及函数估计；墨西哥草帽小波用于系统辨识；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。还可以选择几个Sigmoid函数的组合作为小波函数，正交小波神经网络的小波基一般选择Daubechies构造的具有紧支集的正交小波，对于数字信号往往选择Harr或Daubechies作为小波基。2020/1/329部分小波许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，•Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的•db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发2020/1/330母小波的例子：Harr小波：others01t1/21,-1/2t01,(t),2020/1/331母小波的例子：Mexico草帽小波：2t-2412)t-(132(t)//e2020/1/332母小波的例子：Morlet小波：2-ttj2(t)/ee2020/1/3332020/1/334小波分解树与小波包分解树由低通滤波器和高通滤波器组成的树原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分解。小波分解树(waveletdecompositiontree)对信号的高频分量不再继续分解，而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量。小波包分解树(waveletpacketdecompositiontree)不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。多分辨特性2020/1/335图小波分解树2020/1/336图三级小波包分解树1332SAAADDADDD2020/1/3372020/1/3382020/1/3392020/1/3402020/1/3412020/1/3422020/1/343小波神经网络技术由于小波具有良好的时频局部特性和变焦特性，而神经网络具有自学习、自适应性、强鲁棒性和推广能力，如何把小波与神经网络结合起来，一直是人们关心的问题。小波分析和神经网络的结合有下述两种途径：（1）松散型结合，即小波分析作为神经网络的前置处理手段，为神经网络提供输入特征向量。（2）紧致型结合，小波与神经网络直接融合，即用小波函数和尺度函数形成神经元。2020/1/3442020/1/3454．基于小波变换的气、液两相流系统软测量1）图软测量系统框架图2020/1/3462）基于小波分析的软测量技术就是利用易测辅助变量，采用小波分析处理技术，通过对所获得的信息进行分析处理并提取信号特征值，从而实现对某一参数的在线检测或过程状态的辨识。这里选用气、液两相流的差压波动信号作为软测量系统的易测辅助变量，而主导变量就是重要的参数变量——流型。其软测量模型如图7-30所示。2020/1/347图基于小波变换的软测量模型基于小波变换的气、液两相流系统软测量2020/1/348