对称问题练习题

关于对称问题第1页关于对称问题一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转180o后能与另一个图形重合。这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。（1）点关于点对称。点P（x,y）关于点M(a,b)对称点Q的坐标是Q(2a-x,2b-y)。（由中点坐标公式得到）（2）直线关于点对称。直线l:Ax+By+C=0关于点P（a,b）对称的直线为l1的方程是：A（2a-x）+B(2b-y)+C=0.即Ax+By-2aA-2bB-C=0。（3）曲线关于点对称。曲线f(x,y)=0关于点P（a,b）对称的曲线方程是f（2a-x,2b-y）=0二、轴对称。定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合。这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。（1）点关于直线对称。充分利用对称的两个几何条件：①对称的两点连线⊥对称轴；②对称的两点的中点在对称轴上，将①②两点坐标化求出对称点。（2）直线关于直线对称。①Ax+By+C=0关于x轴对称的直线的直线方程是：Ax-By+C=0②Ax+By+C=0关于y轴对称的直线的直线方程是：Ax-By-C=0③Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线的直线方程是：Bx-Ay-C=0④Ax+By+C=0关于直线y=-x对称的直线的直线方程是：Bx+Ay-C=01.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为()A.（a，b）B.（b，a）C.（－a，－b）D.（－b，－a）2.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是()A.m5=npB.p=－5C.m=－n且p=－5D.m1=－n1且p=－53.直线032yx关于定点(1,2)M对称的直线方程是（）A.012yxB.052yxC.012yxD.052yx4.与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为()A.2x－y－5=0B.x+2y－3=0C.x+2y+3=0D.2x－y－1=05.已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为（）A.（x+1）2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1D.x2+（y－1）2=16.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________.7.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________.8.两直线y=33x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________.9.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.【答案】BCBCC6.3x－y+3=0；7.π－θ；8.x+3y－2=0或3x－3y－2=0；9.（5，6）关于对称问题第2页10.求直线340xy关于点(2,1)P对称的直线l的方程。（3100xy）结论：直线0AxByC关于点(,)Mab的对称直线为(2)(2)0AaxBbyC11.求点(2,1)A关于直线2100xy的对称点'A的坐标。【（6,3）】12.（1）求直线l1：2x-y-3=0关于l:4x-2y+5=0对称的直线l2的方程。（2）直线2310xy关于直线10xy的对称直线方程为。(320xy)结论：同样的对于对称轴为特殊直线的问题可以直接给出：0AxByC关于直线yxb的对称直线为：[()]()0AybBxbC13.已知光线通过点(2,3)A，经直线10xy反射，其反射光线通过点(1,1)B，求入射光线和反射光线所在的方程。(反射线4510xy，入射线5420xy)14.已知(3,1)A、B(5,2)点P在直线0xy上，若使PAPB取最小值，求P点的坐标。(6,3)，1313(,)55关于对称问题第3页15.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.（x+2y－3=0）16.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状.17.在x轴上有一点A，直线yx上有一点B，定点(2,1)C，若ABC的周长最小，求,AB两点的坐标。【555(,0),(,)344AB】18.已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|－|PB|最大.19.已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的内角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．关于对称问题第4页16解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A′在BC所在直线上，设A′点坐标为（x1，y1），则x1、y1满足4211xy=－21，即x1=－2y1.①221y=2·241x，即2x1－y1－10=0.②解①②两式组成的方程组，得x1=4，y1=－2.∴BC所在直线方程为121y=343x，即3x+y－10=0.3x+y－10=0，x=2，y=2x，y=4.∴所求C点坐标为（2，4）.由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，∴△ABC为直角三角形.18解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.221x+2·231y－2=0，2311xy·（－21）=－1.x1=－52，y1=－59.由两点式求得直线A1B的方程为y=117（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（2556，－253）.由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.19解：由内角平分线的性质知：点A关于∠B、∠C的对称点A'、A''均在直线BC上．∵∠B的平分线为x＋y－2＝0∴A'(6，0)设A''(a，b)则0624322324baab∴5452ba即A''(52，54)∴直线A'A''的方程是y＝526540(x－6)，即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程由02067yxyx得B(34，32)，由063067yxyx得C(6，0)∴AB所在直线方程是：y＝10－7xAC所在直线方程是：y＝x－6解方程组得则有解得ABCEFA'A''