对若干有关圆和球的求质心的方法

对若干有关圆和球的求质心的方法制作人：0910264粟波有关球的求质心的问题在这个问题中，我将以半球为例，用多种方法求质心。从这些方法中我们还能学到求薄球壳的质心，有一定厚度的球壳的质心，求被平面截得的物体的之心等。方法一建立如图的直角坐标系，我们可以将半圆看成是由一层层的薄圆片堆积而成，根据对称性，我们知道，质心应该在对称轴上，所以我们只考虑X方向。83)(2332)(1032332220rdxxxrrXcrMdxxrdxydmdmxMXcrr方法二同样，我们可以将半球看成有一层层的薄球壳叠放而成。然后将薄球壳的质量全部等效到其质心处，然后将一个个质心看成是连续的密度不均匀的小棒。首先，我们来考虑球壳问题：dxθθXrydxyxdmrMdmxMcXrsinsin22'1202'2rXcdxrxdm这样，我们就可以将半球等小城长度为X/2的细棒，X处的线密度等于σ'10MdmdrdmxMXcr833222322XcrMdrrrdm方法三我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组成，锥体的中西在3r/4处，而锥体的质心又构成了一个半径为3r/4的球壳，其质心在半径的½处（刚才已证明）。所以83Xc接下来我们来解决和圆有关的平面求质心的问题，同样以半圆为例，用不同的方法求其质心，用这些方法，我们还可以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形，圆环一部分的质心等问题方法一：将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；34220222022022rMdxxrMdxxrxMdmxXcxryydxdmrrr方法二：将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质心：rXcrxrrydxxdmxXcdxdmrr2sinsin2sin22200θθ所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的非均匀小棒。3r4Xcr2x2200MdrrxMdmxXcdrrdmrr方法三将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆的质心，所以：Xc=2r/3×2/π=4r/3π方法四：令半圆绕其直径旋转一周，形成一球，球的体积等于半圆的面积成一支新绕过的周长，即：34342222rXcrXcr方法五：半圆的质心在两四分之一圆的质心连线上，而四分之一圆的质心在两八分之一圆的质心连线上，以此类推，我们令二分之一圆的质心到圆心的距离为Xc1,,四分之一圆的质心到圆心的距离为Xc2,……这样我们从图中可以看出：112cosnnnXX所以可以得到：nnnnnnnnXXnXX2sin22sin2sin2sin2cos16cos8cos4cos2cos16cos8cos4cos11当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3.又有：nn2121sin所以：432sin22sin11rXXnnn