对角化问题的研究

对角化问题的研究一、引言有关的，而且同一个线性变换在不同的基下的矩阵是不同的，但是他们之间相似。这些矩阵有简单，有复杂的。所以我们可以想到用简单的矩阵去解决复杂矩阵的问题。而对角矩阵是相对比较简单的矩阵。二、正文I、线性变换对角化1、定义：设A是n维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理1：属于不同特征值的特征向量是线性无关的。推论1：如果在n维线性空间V中，线性变换A的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即A有n个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形。推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形。如果一个线性变换没有n个不同的特征值该如何？如果λ1，···，λk是线性变换A的不同的特征值，而1i,···，iir是属于特征值i的线性无关的特征向量，i=1，···，k,那么向量组11，···，11r，···，1k，···，kkr也是线性无关。如果这些线性无关的特征向量的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵。A可对角化定义A在某一组基下是对角矩阵。A有n个不同特征值A有n个线性无关特征向量。重根0的重根数:每个特征值的重数等于属于k=n-(0E-A)它的线性无关的特征向量个数。II.方阵的对角化线性变换A可对角化矩阵A可对角化A相似于某个对角矩阵。证明：矩阵A可对角化A在一组基1，···，n下的矩阵A可对角化。线性变换A可对角化A在基1，···，n下为对角阵。矩阵A与对角阵相似。III.判别方法1、把矩阵可对角化转化为线性变换可对角化。例1.已知矩阵A可对角化，证明2A可对角化。证明：矩阵A可对角化线性变换A有n个线性无关特征向量1，···，n。即A=A2=A(A)=A=A=2则1，···，n也是线性变换A2的特征向量。所以，线性变换A2可对角化。即A2可对角化。2、证明矩阵相似于一个对角矩阵。证明例1：矩阵A可对角化1AXBX则211(XBX)(XBX)A11XBXXBX12XBXB为对角矩阵B2也为对角矩阵A2可对角化。IV.P的求法矩阵A可对角化存在可逆矩阵P，使1PAP等于对角矩阵。P的求法：⑴、求A的所有特征值。⑵、求出每个特征值对应的特征向量，有n个。⑶、特征向量列着放置。V.对角化的应用1、求大方幂或多项式矩阵。例：1100nPAP，求kA。解：111(PAP)00kkknPAP1100kkknAPp2、求Fibonacci数列通向。Fibonacci数列：1101,0,1nnnaaaaa解：110111110101nnnnnaaaaaa设1101A则求A的特征值。11EA1110解得：121515,22对于的特征向量1212,11212111211,,111PP112nnnAPP2121112211111nn=1111121221121212211nnnnnnnn1nnaa1111121221121212211nnnnnnnn1012121nnna11515225nn