导学案028数列的概念与简单表示方法

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。1数列的概念与简单表示方法考纲要求了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).考情分析1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大.教学过程基础梳理一、数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)．二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项三、数列与函数的关系1．从函数观点看，数列可以看成是以为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列．2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五、数列的递推公式济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。2如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且与(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．双基自测1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是()A．an＝n2n＋1B．an＝n2n－1C．an＝n2n－3D．an＝n2n＋32．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是()A．－3B．－11C．－5D．194．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数，2n－5n为奇数则a4·a3＝________.5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋qn，且a2＝32，a4＝32，则a8＝________.典例分析考点一、由数列的前几项求数列的通项公式[例1](2012·天津南开中学月考)下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－|sinnπ2|D．an＝－1n－1＋32变式1．(2012·绍兴模拟)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的()A．第7项B．第8项济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。3C．第9项D．第10项变式2．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.考点二、由数列的前n项和annS求[例2](2011·四川高考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1变式3．已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝4n＋b.济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。4数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.此公式经常使用，应引起重视．当n＝1时，S1若适合an＝Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an中；当n＝1时，S1若不适合an＝Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.考点三、由数列的递推公式求通项公式[例3](2012·郑州质检)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－ann＝2，则ann的最小值为()A．9.5B．10.6C．10.5D．9.6变式4.若本例条件变为：数列{an}满足下列条件：a1＝1，且对于任意的正整数n(n≥2，n∈N*)，有2an＝2nan－1，则a100的值为________．变式5．(2012·沈阳模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1－1nn－1(n≥2)，则a16＝________.变式6.．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)．由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。51．对于形如“an＋1＝an＋f(n)”型的递推关系式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法．2．对于形如“an＋1an＝g(n)”型的递推关系式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累积或迭代的方法．3．对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”型递推关系求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．[考题范例](2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Smn，且a1＝1.那么a10＝()A．1B．9C．10D．55[高手点拨]本题欲求a10，则要先求an，而题目提供的是Sn的关系式，联想到an与Sn的关系，则只要求出Sn即可．本题提供关系式表面上显得复杂，但考虑到我们需要的，只要令m＝1，问题便可轻松解决．一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；(2)an＋1an＝f(n)型，采用叠乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．本节检测济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号027班级：高三（）姓名抢时间，抓基础，勤演练定有收获；树自信，誓拼搏，升大学回报父母。61．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于()A．4B．2C．1D．－22．已知数列{an}满足a10，an＋1an＝12，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是an＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103B．10818C．10318D．1085．数列54，109，17a＋b，a－b25，…中，有序数对(a，b)可以是__________．6．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)(78)n，则当an取得最大值时，n等于________．自我反思