导学案030等比数列及其前n项和

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？1等比数列及其前n项和考纲要求1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．考情分析1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．3.题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.教学过程基础梳理一、等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且)通项公式an＝前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝二、等比数列的性质1．通项公式的推广：an＝amqmn2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s，则有.3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{1an}，{a2n}，{an·bn}，{anbn}(λ≠0)仍是等比数列．4．三个数成等比数列且积一定，通常设为比较方便．济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？2双基自测1．在等比数列{an}中，a2012＝8a2009，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．82．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·6a等于()A．4B．8C．16D．323．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()A．4·32nB．4·23nC．4·32n－1D．4·23n－14．(2012·广州调研)已知等比数列{an}的公比是2，a3＝3，则a5的值是________．5．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.典例分析考点一、等比数列的判断与证明例1.(2011·绵阳二模)在正项数列{an}中，a1＝2，点(an，an－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.变式1.(2012·长安模拟)已知数列{an}中，a1＝23，a2＝89.当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)．(1)证明：{an＋1－an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项．等比数列的判定方法有：1．定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．2．中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？3考点二、等比数列的基本运算[例2](2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,a61＋a3＝30，求an和Sn变式2.（2012·金华联考)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.考点三、等比数列的性质[例3](2012·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为________．变式3.(2012·成都模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1D．－32变式4.(2012·巴中模拟)已知等比数列{an}中，an0，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5等于()A．16B．27C．36D．82等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？4考题范例(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．[解答示范](1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.(2分)所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．(4分)故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(6分)(2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝54－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.(8分)所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.(10分)因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1－qn1－q(q≠1)．两个防范济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？5(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．本节检测1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.122．(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．163．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．165．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S6＝()A．63B．64济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号029班级：高三（）姓名惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋？6C．31D．326．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.7．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝127，则n＝________.自我反思