导数--复合函数的导数练习题

第1页（共8页）函数求导1.简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00xfxxfy；（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(00。（3）取极限求导数)(0'xfxxfxxfx)()(lim0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0'xf的导数就是导函数)(xf，当0xx时的函数值。3．常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'C，（C是常数）②xxcos)(sin'③xxsin)(cos'④1')(nnnxx⑤aaaxxln)('⑥xxee')(⑦axxaln1)(log'⑧xx1)(ln'⑨xx2'cos1)(tan⑩（xx2'sin1)cot（2）法则：''')]([)]([)]()([xgxfxgxf，)()()()()]()(['''xfxgxgxfxgxf)()()()()(])()([2'''xgxfxgxgxfxgxf例：（1）324yxx（2）sinxyx（3）3cos4sinyxx（4）223yx（5）ln2yx第2页（共8页）复合函数的导数如果函数)(x在点x处可导，函数f(u)在点u=)(x处可导，则复合函数y=f(u)=f[)(x]在点x处也可导，并且(f[)(x])ˊ=)(xf)(x或记作xy=uy•xu熟记链式法则若y=f(u)，u=)(xy=f[)(x]，则xy=)()(xuf若y=f(u)，u=)(v，v=)(xy=f[))((x]，则xy=)()()(xvuf（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例1函数4)31(1xy的导数.解：4)31(1xy4)31(x．设4uy，xu31，则xuxuyy'''xuxu)'31()'(4)3(45u55)31(1212xu5)31(12x．第3页（共8页）例2求51xxy的导数．解：511xxy，'541151'xxxxy254)1()1(1151xxxxx254)1(1151xxx5654)1(51xx．例3求下列函数的导数xy23解：（1）xy23令u=3-2x，则有y=u，u=3-2x由复合函数求导法则xuxuyy有y′=xuxu)23(=xu231)2(21在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=xxx231)23(2321在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=xx231)2(2321第4页（共8页）例4求下列函数的导数（1）y=x21cosx（2）y=ln(x+21x)解：（1）y=x21cosx由于y=x21cosx是两个函数x21与cosx的乘积，而其中x21又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x21导数时再用复合函数求导法则，于是yˊ=(x21)ˊcosx-x21sinx=xxcos212)2(-x21sinx=xx21cos-x21sinx（2）y=ln(x+21x)由于y=ln(x+21x)是u=x+21x与y=lnu复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求xu时用函数和的求导法则，而求(21x)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以yˊ=211xx•[1+(21x)ˊ]=211xx•21221xx=211xx•2211xxx=211x例5设)1ln(xxy求y.解利用复合函数求导法求导，得)1(11])1[ln(222xxxxxxy])1(1[1122xxx])1(1211[11222xxxx11]11[11222xxxxx.第5页（共8页）小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例6求y=(x2－3x+2)2sin3x的导数.解：y′=［(x2－3x+2)2］′sin3x+(x2－3x+2)2(sin3x)′=2(x2－3x+2)(x2－3x+2)′sin3x+(x2－3x+2)2cos3x(3x)′=2(x2－3x+2)(2x－3)sin3x+3(x2－3x+2)2cos3x.1．求下函数的导数.（1）cos3xy（2）21yx(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2(1)y=32)12(1x(2)y=4131x(3)y=sin(3x－6)(4)y=cos(1+x2)⑴32)2(xy；⑵2sinxy；⑶)4cos(xy；⑷)13sin(lnxy．第6页（共8页）1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy(3))2(log2xa2.求)132ln(2xx的导数一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分）1.函数y=2)13(1x的导数是（）A.3)13(6xB.2)13(6xC.－3)13(6xD.－2)13(6x3.函数y=sin（3x+4）的导数为（）A.3sin（3x+4）B.3cos（3x+4）C.3sin2（3x+4）D.3cos2（3x+4）4.曲线nxy在x=2处的导数是12，则n=（）A.1B.2C.3D.45.函数y=cos2x+sinx的导数为（）A.－2sin2x+xx2cosB.2sin2x+xx2cosC.－2sin2x+xx2sinD.2sin2x－xx2cos6.过点P（1，2）与曲线y=2x2相切的切线方程是（）A.4x－y－2=0B.4x+y－2=0C.4x+y=0D.4x－y+2=0二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分）第7页（共8页）8.曲线y=sin3x在点P（3，0）处切线的斜率为___________。9.函数y=xsin（2x－2）cos（2x+2）的导数是。10.函数y=)32cos(x的导数为。11.___________,2)(,ln)(00'xxfxxxf则。例2．计算下列定积分（1）20(1)xxdx；（2）2211()xedxx（3）20sinxdx5．42xedx的值等于（）42()Aee(B)42ee(C)422ee(D)422ee9.计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.第8页（共8页）复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y=u3,u=1+sin3x8.－39.y′=21sin4x+2xcos4x10.)32cos()32sin(xx11.xxx1sin1cos122