导数与等价无穷小主部的确定

导数与等价无穷小主部的确定光信1001李书轶提要：本文借助导数，提出了寻找无穷小主部的几个有效方法。关键词：无穷小，等价，导数，复合引言课堂上毕老师提出了一些关于无穷小等价关系的思考题，经过自己的探索，发现了一些具有简化计算的结果。定理1设函数)(xf在点0x处有非零导数，0)0(f。若0xx时，)(~)(xvxu，则有))((~))((xvfxuf.证由于导数xxffx)(lim)0(0存在，故有)0()(fxxf，其中当0x时，为无穷小量。于是有)0(~)0()(fxxfxxf，从而))((~)0()(~)0()(~))((xvffxvfxuxuf。证毕。几个简单应用如下：考虑当0x时取xxfarctan)(，则由xx~sin，推出xxtan~sintan；取)1ln()(xxf，则由xx~sin，推出xxtan~)sin1ln(；【教师评注】此结果在连续函数一节得到解决，只要函数)(xf在点0x处连续以及0)0(f便可以。但是以上证明方法有意思，可取。定理2)(xf在点0xx处有非零导数，0)(0xf。则有))((~)(00xxxfxf.【教师评注】此结果在台劳公式一节得到推广。提前发现此结果，能力很强。证由于000)(lim)(xxxfxfx存在，故有)()(00xfxxxf，其中当0xx时，为无穷小量。于是有)()(~)()()()(00000xfxxxxxfxxxf。证毕。考虑当0x时的几个熟知结果：取xxfsin)(，则xxx0cos~sin；取)1ln()(xxf，则xxx011~)1ln(；取1)(xaxf，则axaxaaxlnln~10；再考虑几个作业中的结果：x时，)())((~sin)(xxfxxf；1x时，)(2)1)(1(~ln)(2xxfxxf当导数等于零时，上述方法失效，但是经过反复试验，我归纳出以下法则。定理3设函数)(xf在点0xx处有零导数，0)(0xf。则有mxxxfxf/))((~)(0.其中m的大小与最终确定的无穷小的阶数相等。证明：由洛必达法则设f(x)~mxxa)(0mxxmxxmxxxxamxxxfxxamxfxxaxf)())(('lim1)()('lim)()(lim00100000故mxxxfxf/))(('~)(0例如0x（下同）时，221~1)cos1(~cos1xxmxx；3323213123~1)coscos1(1)sin(tan~sintanxxxmxxxmxxxx33613121~1)cos1(1)(sin~sinxxxmxxmxxxx考虑到导数计算对函数有一定的化简的作用，于是推测以下法则。定理4若0xx时，函数vu,等价且u,v均可导，则有)(~)(xvxu)(~)(xvxu证明：有洛必达法则1)(')('lim)()(lim00xvxuxvxuxxxx故)('~)('xvxu例如0x时，xxxx~sin&21~cos12，361~sinxxx和221~cos1xx由以上的结论我们还可以得出一个判定无穷小是否存在主部的方法由于主部存在必然阶数m也存在，同样的如果m可以求出必然是主部存在才行定理5在0)(0xfxx时若存在极限)())(('lim00xfxxxfmxx则)(xf存在主部参考文献《微积分学》第三版，华中科技大学数学系编，高等教育出版社，2008