导数单元阶段性测试题

阶段性测试题四(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末[答案]D[解析]s′＝t2－3t＋2＝0，令s′＝0，得t＝1或2，故选D.2．(文)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)递减，所以其导函数在(－∞，0)大于0，在(0，＋∞)小于0，故选B.(理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案]B[解析]因为三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数，当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．3．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A.278B．－2C．2D．－278[答案]A[分析]由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可．[解析]设切点坐标为(t，t3－at＋a)．切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝32.分别将t＝0和t＝32代入①式，得k＝－a和k＝274－a，由它们互为相反数得，a＝278.4．(文)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.(理)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴b＝1c＝2或b＝－1c＝－2，∴ad＝2.5．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案]C[解析]∵(x－1)f′(x)≥0，∴x≥1f′(x)≥0，或x≤1f′(x)≤0，①若函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，则f(0)f(1)，f(2)f(1)，∴f(0)＋f(2)2f(1)．②若函数y＝f(x)为常数函数，则f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C.6．设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.12C．－2D．2[答案]A[解析]∵y′＝－sin2x－(1＋cosx)cosxsin2x＝－1－cosxsin2x∴f′π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a＝－1，故选A.7．(文)(08·广东)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－1B．a－1C．a≥－1eD．a－1c[答案]A[解析]y′＝ex＋a，由条件知，ex＋a＝0x0有解，∴a＝－ex－1.(理)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A.14B.13C.12D.23[答案]A[解析]由y＝x2y＝t2x0得，x＝t，故S＝0t(t2－x2)dx＋t1(x2－t2)dx＝(t2x－13x3)|t0＋(13x3－t2x)|1t＝43t3－t2＋13，令S′＝4t2－2t＝0，∵0t1，∴t＝12，易知当t＝12时，Smin＝14.8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]∵f(0)＝0.∴c＝0.∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f′(1)＝－1f′(－1)＝－1，即3＋2a＋b＝－13－2a＋b＝－1，∴a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.令f′(x)＝0得x＝±233∈[－2,2]．∴极值点有两个．∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.∴①③正确，故选C.9．若函数h(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2][答案]A[解析]由条件h′(x)＝2＋kx2＝2x2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．10．(08·辽宁)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12]B．[－1,0]C．[0,1]D．[12，1][答案]A[解析]y′＝2x＋2，∵切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－12.11．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)0，xf′(x)＋f(x)0，则对任意正数a，b，若ab，则必有()A．af(b)bf(a)B．bf(a)af(b)C．af(a)f(b)D．bf(b)f(a)[答案]B[解析]构造函数y＝f(x)x(x0)，求导得y′＝xf′(x)－f(x)x2，由条件知f′(x)0，∴y′0，∴函数y＝f(x)x在(0，＋∞)上单调递减，又ab0，∴f(a)af(b)b，即bf(a)af(b)．12．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)[答案]C[解析]由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x2时，y＝x·f′(x)0，∴f′(x)0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．[答案]4[解析]∵y′＝3x2＋6ax＋3b，∴3×22＋6a×2＋3b＝03×12＋6a×1＋3b＝－3⇒a＝－1b＝0，∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.(理)定积分3－216＋6x－x2dx＝________.[答案]25π4[解析]设y＝16＋6x－x2，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)．∵3－216＋6x－x2dx表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆的面积的四分之一．∴3－216＋6x－x2dx＝25π4.14．(文)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．[答案]a2或a－1[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－80，解得a2或a－1.(理)函数y＝0x(sint＋costsint)dt的最大值是______．[答案]2[解析]y＝0x(sint＋costsint)dt＝0x(sint＋12sin2t)dt＝(－cost－14cos2t)|x0＝－cosx－14cos2x＋54＝－cosx－14(2cos2x－1)＋54＝－12cos2x－cosx＋32＝－12(cosx＋1)2＋2≤2.当cosx＝－1时取等号．15．已知函数y＝－13x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．[答案]b－1或b3[解析]y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b－1或b3.16．(文)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列ann＋1的前n项和是________．[答案]2n＋1－2[解析]∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，∴an＝(n＋1)·2n，∴数列ann＋1的前n项和为2(2n－1)2－1＝2n＋1－2.(理)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0φπ)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直，(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．[解析](1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)·(－19)＝－1，即3a＋2b＝9，②由①②式解得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m＋1≤－2，∴m≥0或m≤－3.(理)已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋