导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用一、填空题1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m∈R，若函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，则m的取值范围是________．3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为________．4．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＞0，f′(x)＞0，则函数y＝xf(x)的递增区间是________．5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)80000(x400)，则总利润最大时，每年生产的产品是________．6．(江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)0恒成立，且f(4)＝1，若f(x＋y)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导得y′y＝g′(x)lnf(x)＋g(x)f′(x)f(x)，于是y′＝f(x)g(x)g′(x)lnf(x)＋g(x)f′(x)f(x).运用此方法可以探求得知y＝(x0)的一个单调递增区间为________．二、解答题8．(2010·东台中学高三诊断)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为ym.(1)设∠CA1O=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．1．某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．2．(2010·扬州中学上学期期中卷)已知函数f(x)＝lnxx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a0，求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值；(3)某同学发现：总存在正实数a、b(ab)，使ab＝ba，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围(不需要解答过程)．解答：一、填空题1．解析：曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线斜率为y′|x＝1＝13x3＋x′x＝1＝(x2＋1)|x＝1＝2，所以切线的方程为y－43＝2(x－1)，即y＝2x－23，与x轴的交点和y轴的交点为13，0，0，－23，所求面积为S＝12×13×23＝19.答案：192．解析：因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m1，即m－12.答案：m－123．解析：由题意知，f′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax，∵f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f′(x)在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0，∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区间(0,1]上恒成立，即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函数y＝－2x2－2x在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案：a≥0或a≤－44．解析：当x＞0时，y′＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴y＝xf(x)在(0，＋∞)上递增．又f(x)为奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数，∴y＝xf(x)在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞)5．解析：由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝300x－x22－20000(0≤x≤400)，60000－100x(x400)，而P′(x)＝300－x(0≤x≤400)，－100(x400)，令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．答案：3006．解析：由f(x)在(0，＋∞)上的导函数f′(x)0恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x＋y)≤1，f(4)＝1，则f(x＋y)≤f(4)，所以x，y满足x＋y≥4且x0，y0.又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是(x，y)到(－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2＋y2＋2x＋2y的最小值是16.答案：167．解析：由题意得y′＝－1x2lnx＋1x2＝－2(1－lnx)，由y′0得0xe，所以单调递增区间为(0，e)．答案：(0，e)二、解答题8．(2010·东台中学高三诊断)解：(1)在Rt△COA1中，CA1=，CO=2tanθ，y=3CA1+CB=3·+2-2tanθ=+2(0θπ4)．(2)y′=2=2，令y′=0，则sinθ=13.当sinθ13时，y′0；sinθ13时，y′0，∵y=sinθ在上是增函数，∴当角θ满足sinθ=13时，y最小，最小为42+2；此时BC=2－22(m)．9.解：(1)由题可设，安全负荷y1=k·(k为正常数)，翻转90°后，安全负荷y2=k·.∵，∴当0＜d＜a时，y1y2，安全负荷变大；当0ad时，y2y1，安全负荷变小；当d=a时，y1=y2，安全负荷不变．故将此枕木翻转90°后，安全负荷不一定变大．(2)设截取的宽为a，高为d，则，即a2+4d2=4R2.∵枕木的长度不变．∴u=ad2最大时，安全负荷最大．由题意可设u(a)=ad2=a(R2-14a2)，u′(a)=R2－a2，令u′(a)=0，可得a=R.当0aR时，u′(a)0，函数u(a)单调递增；当Ra2R时，u′(a)0，函数u(a)单调递减．所以当a=R，d=R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大．10．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f′(x)＝2x－2x＝2(x＋1)(x－1)x.当x变化时，f′(x)和f(x)的值变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋2x，得g′(x)＝2x＋ax－2x2.若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－2x2＋ax≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥2x－2x2在[1，＋∞)上恒成立.令φ(x)＝2x－2x2，则φ′(x)＝－2x2－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－2x2－4x0，∴φ(x)＝2x－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.故a的取值范围为[0，＋∞)．1．解：设轮船航行速度为v公里/小时，则0v≤25.又设总费用为y元，则y＝480·1000v＋1000v·av3.(其中a为比例系数)．由条件30＝a·103，所以a＝3100.代入上式有y＝480000v＋30v2，v∈(0,25]，所以y′＝－480000v2＋60v＝60(v3－8000)v2令y′＝0，解得v＝20.当v20时，y′0；当v20时，y′0，又v＝20是(0,25]内唯一极值点且是极小值点，于是，当v＝20时，y有最小值36000元．所以平均每个乘客的费用为36000400＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元．2．解：(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝1－lnxx2＝0，则x＝e，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)1e∴f(x)的单调增区间为(0，e)；单调减区间为(e，＋∞)．(2)由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以，当4a≤e，即a≤e4时，f(x)在[2a,4a]上单调递增，∴f(x)min＝f(2a)；当2a≥e，即a≥e2时，f(x)在[2a,4a]上单调递减，∴f(x)min＝f(4a)当2ae4a时，即e4ae2时，f(x)在[2a，e]上单调递增，f(x)在[e,4a]上单调递减，∴f(x)min＝min{f(2a)，f(4a)}．下面比较f(2a)，f(4a)的大小，∵f(2a)－f(4a)＝lna4a，∴若e4a≤1，则f(2a)－f(4a)≤0，此时f(x)min＝f(2a)＝ln2a2a；若1ae2，则f(2a)－f(4a)0，此时f(x)min＝f(4a)＝ln4a4a，综上得：当0a≤1时，f(x)min＝f(2a)＝ln2a2a；当a1时，f(x)min＝f(4a)＝ln4a4a.(3)正确，a的取值范围是1ae.