导数在研究函数中的应用

1导数在函数中的应用一、应用导数求可导函数的单调区间、极值与最值1（2005山东19.12分）已知x=1是函数1)1(3)(23nxxmmxxf的一个极值点，其中m、nR,m0.(Ⅰ)求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；（Ⅲ）当]1,1[x时，函数y=)(xf的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。2（2006山东17.12分）设函数1)1(32)(23xaxxf(1a).(Ⅰ)求)(xf的单调区间；（Ⅱ）讨论)(xf的极值。23（2007山东文21）设函数xbaxxfln)(2其中0ab.证明：当0ab时，函数)(xf没有极值；当0ab时函数)(xf有且只有一个极值点，并求出极值。4(2009山东文21.)（本小题满分12分）已知函数321()33fxaxbxx,其中0aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.4（2007全国文20.12分）设函数cbxaxxxf8332)(23在x=1及x=2时取得极值，（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对于任意的]3,0[x都有2)(cxf成立，求c的取值范围。35（2007四川文20.12分）设函数)0()(3acbxaxxf为奇函数，其图像在点))1(,1(f处的切线与直线076yx垂直，导函数)(xf的最小值为-12，（Ⅰ）求a,b,c的值；（Ⅱ）求函数)(xf的单调递增区间并求函数)(xf在[-1，3]上的最大值与最小值。6（2007福建文20.12分）设函数)0,(,12)(22tRxtxttxxf（Ⅰ）求)(xf的最小值)(th；（Ⅱ）若)2,0(,2)(tmtth恒成立，求实数m的取值范围。7（2007重庆文20.12分）用长为18米的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？4（2008山东高考文21，12分）设函数2312)(bxaxexxfx，已知2x和1x为函数)(xf的极值点。（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅲ）设2332)(xxxg，试比较)(xf与)(xg的大小。9（2008山东高考理21，12分）已知函数*),1ln()1(1)(Nnxaxxfn，a为常数。（Ⅰ）当n=2时，求函数)(xf的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当2x时，有)(xf1x。510（2009江西高考）设函数axxxxf629)(23。（1）对于任意实数mxfx)(,恒成立，求m的最大值。（2）若方程0)(xf有且仅有一个实数根，求a的取值范围。11（2009浙江高考）已知函数),()2()1()(23Rbabxaaxaxxf（1）若函数)(xf的图像过原点，且在原点处的切线的斜率是-3，求ba,的值；（2）若函数)(xf在区间（-1，1）上不单调，求实数a的取值范围。612（2009北京高考）设函数).0(3)(3abaxxxf（1）若曲线)(xfy在点))(,2(xf处与直线8y相切，求ba,的值；（2）求函数)(xf的单调区间与极值点。13（2008福建高考）已知函数2)(23nxmxxxf的图像过点)6,1(，且函数xxfxg6)()(的图像关于y轴对称。（1）求nm,的值及函数)(xf的单调区间；（2）若0a，求函数)(xf在区间)1,1(aa内的极值。（2009宁夏高考）已知函数322393)(axaaxxxf。（1）设1a，求函数)(xf的极值；（2）若axfaxa12)(]4,1[,41时，且当恒成立，试确定a的取值范围。7（2008陕西高考）设函数0,12)(,1)(2223axaxxgxaaxxxf其中。（1）若0a，求函数)(xf的单调区间；（2）当函数g(x)y)(与xfy的图像只有一个公共点且)(),()()(ahahxgxg求的最小值为存在最小值时，记的值域；（3）若)2,()()(aaxgxf在区间与内均为增函数，求a的取值范围二、函数与导数的应用1（2008潍坊三模12分）已知函数)0()(23adcxbxaxxf在x=-1处取得极大值，且函数是奇函数。（Ⅰ）若函数)(xf的图像在原点处的切线与直线013:yxL垂直，求)(xf的解析式；（Ⅱ）在]1,1[x时，不等式0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。82（2008淄博三模）已知函数xaxxfln)(2在]2,1(x上是增函数，xaxxg)(在)1,0(x上为减函数，（Ⅰ）求)(),(xgxf的表达式；（Ⅱ）求证：当0x时，方程2)()(xgxf有唯一解；（Ⅲ）当1b时，若212)(xbxxf在]1,0(x内恒成立，求b的取值范围。3（14分）设函数,2)(,ln2)(epqeefxxqpxxf其中e是自然对数的底数。（Ⅰ）求p与q的关系。（Ⅱ）若)(xf在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅲ）设xexg2)(，若在[1，e]上至少存在一点0x，使得)()(00xgxf成立，求实数p的取值范围；94已知函数0)2(),0(,31)(23facxbxaxxf，（Ⅰ）若)(xf在x=2处取得极小值-2，求)(xf的单调区间；（Ⅱ）令)()(xfxF，若0)(xF的解集是A，且)1,()1,0(A，求ca的最大值。5设函数),(2)(xfxkkxxg其中xxfln)(，（e为自然对数的底数）。（Ⅰ）求)1()(egeg的值；（Ⅱ）证明)1(,1)(xxxf；（Ⅲ）若)(xg在其定义域内为单调函数，求k的取值范围。106（2008青岛三模、12分）已知函数bxaxxxf232131)(，（Ⅰ）若ba2，试问函数)(xf能否在1x处取到极值？若有可能，求出实数ba,的值；否则说明理由。（Ⅱ）若函数)(xf在区间)3,2(),2,1(内各有一个极值点，试求baw4的取值范围。7已知函数2)(23cxbxxxf，（Ⅰ）若)(xf在1x处有极值1，求cb,的值；（Ⅱ）当0b时，判断函数)(xf的图像上是否存在与直线01)(2yxcb平行的切线，并说明理由；（Ⅲ）求函数]1,1[),(xxfy的最小值。118已知4x是函数)(,)()(42Rxebaxxxfx的一个极值点。（Ⅰ）求a与b的关系式，（用a表示b），并求)(xf的单调区间；（Ⅱ）设a0,xaxg2)433()(2,若存在],5,0[2,1使得4|)()(|21gf成立，求a的取值范围。9已知函数.ln6)(,8)(2mxxgxxxf（Ⅰ）求函数)(xf在区间]1,[tt上的最大值)(th;(Ⅱ)是否存在实数m,使得函数)()()(xfxgx在区间),0(上有且只有三个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。1210已知函数cxbxaxxf23)(在点0x处取得极小值-4，使其导函数0)(xf的x的取值范围为)3,1(。求：（Ⅰ）)(xf的解析式；（Ⅱ）若过点),1(mP可作曲线y=)(xf的三条切线，求实数m的取值范围。11（2008淄博二模）已知函数]2,0(,ln)(xaxxxf，（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）若)(xf32a对于任意的]2,0(x恒成立，求实数a的取值范围。1312已知函数5)(,14)22(31)(23mxxgxxmmxxf，（Ⅰ）当0m时，求函数)(xf得单调递增区间；（Ⅱ）是否存在小于零实数m，使得对任意的]2,1[,21xx，都有1)()(21xfxg，若存在，求m的范围；若不存在，请说明理由。13（2005海南、宁夏22.14分）已知函数]1,0[,274)(2xxxxf（Ⅰ）求)(xf单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数]1,0[,23)(23xaxaxxg，若对于任意的]1,0[1x，总存在]1,0[0x，使得)()(10xfxg成立，求a的取值范围。14已知函数xxxxgcxxxf4042)(,287)(232，（Ⅰ）若对于任意的14]3,3[x，都有)()(xgxf成立，求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的]3,3[1x，]3,3[2x都有)()(21xgxf成立，求实数c取值范围。15已知函数)ln()(aexfx（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数xxfxgsin)()(是区间]1,1[上的减函数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若1)(2ttxg在]1,1[x上恒成立，求t的取值范围。16（2007天津文，21，14分）设函数RaRxaxxxf),()()(2，15（Ⅰ）当1a时，求曲线y=)(xf在点))2(,2(f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数)(xf的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a，证明存在]0,1[k，使得不等式)cos()cos(22xkfxkf对任意的Rx恒成立。17（2007全国文22，12分）已知函数1)2(31)(23xbbxaxxf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，且21021xx(Ⅰ)证明0a；（Ⅱ）求baz2的取值范围。18已知函数1)(3axxxf。（1）若)(xf在实数集R上单调递增，求实数a的取值16范围。（2）是否存在实数a，使)(xf在实数集（-1，1）上单调递减。19。若函数1)1(2131)(23xaaxxxf在区间（1，4）上为减函数，在区间),6(上为增函数，试求实数a的取值范围。20（2009海淀模拟）已知函数)0()(aaaxexfx是常数，其中（1）求函数)(xf的定义域及单调区间；（2）若存在实数]0,(ax，使得21)(xf成立，求实数实数a的取值范围；（3）若对任意的实数]0,(ax，使得21)(xf成立，求实数a的取值范围。1721设函数.0),1ln()(2bxbxxf其中（1）当21b时，判断函数)(xf的极值点；（2）证明对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立。22设函数0)12ln()(2bxbxxf其中。（1）若已知函数)(xf是增函数，求求实数b的取值范围。（2）若已知1b，求证：对任意的正整数n，不等式)(nfn