导数在研究函数中的应用二

导数在研究函数中的应用练习一．选择题1．已知函数(),()13fxxfx在处的导数为则的解析式可能为（）A．()()()2131fxxxB．()()21fxxC．()()221fxxD．()1fxx2．设()fx是函数()fx的导函数,()yfx的图象如下左图,则()yfx的图象最有可能的是（）3．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数，而命题p是命题q的必要不充分条件，则命题q不可以是（）A．f(x)=1B．f(x)=x2C．f(x)=2xD．f(x)=1-x4．若函数1)(23mxxxxf是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．),31(B．)31,(C．),31[D．]31,(5．下列结论正确的是（）A．若0x是)(xf在],[ba上的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值B．若0x是)(xf在),(ba上的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值C．若0x是)(xf在),(ba上唯一的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值D．若0x是)(xf在),(ba上唯一的极大值点，且)(xf在),(ba上无极小值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值二．填空题6.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.7.设函数f（x）=x3－22x－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）m，则实数m的取值范围是________.8.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是___________________________________.9．若函数xaxxf3)(恰有三个单调区间，则a的取值范围是．10．若函数21)(xxxf在（a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是．O12yyxy=f/(x)O12yxO12yxO12yxO12yxABCD11．函数y=2x3-3x2-12x+5在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是12（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:xy12345-1-2-3O1-2-①函数y=f（x）在区间（－3,－21）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－21,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－21时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____________三．计算与证明13．（1）求函数f（x）=x3-x2-40x+80的单调区间；（2）若函数y=x3+bx2+cx在区间（-∞，0）及[2，+∞）是增函数，而在（0，2）是减函数，求此函数在[-1，4]上的值域．14．设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且曲线f(x)在P点出处的切线方程为24x+y-12=0，又函数在x=2出处取得极值-16，求该函数的单调递减区间．15．若函数f(x)=ax3+x，(1)求实数a的取值范围，使f(x)在R上是增函数．(2)求实数a的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间．16设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2.17．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？18．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1导数在研究函数中的应用训练题一．选择题1．已知函数(),()13fxxfx在处的导数为则的解析式可能为（A）A．()()()2131fxxxB．()()21fxxC．()()221fxxD．()1fxx2．设()fx是函数()fx的导函数,()yfx的图象如下左图,则()yfx的图象最有可能的是（C）3．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数，而命题p是命题q的必要不充分条件，则命题q不可以是（B）A．f(x)=1B．f(x)=x2C．f(x)=2xD．f(x)=1-x4．若函数1)(23mxxxxf是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（C）A．),31(B．)31,(C．),31[D．]31,(5．下列结论正确的是（D）A．若0x是)(xf在],[ba上的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值B．若0x是)(xf在),(ba上的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值C．若0x是)(xf在),(ba上唯一的极大值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值D．若0x是)(xf在),(ba上唯一的极大值点，且)(xf在),(ba上无极小值点，则)(0xf是)(xf在],[ba上的最大值二．填空题6.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.答案：－127.设函数f（x）=x3－22x－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）m，则实数m的取值范围是________.解析：f（x）=3x2－x－2=0，x=1，－32，f（－1）=521，f（－32）=52722，f（1）=321，f（2）=7.O12yyxy=f/(x)O12yxO12yxO12yxO12yxABCD∴m321.答案：m∈（－∞，27）8.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是___________________________________.解析:f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞31.答案:m＞319．若函数xaxxf3)(恰有三个单调区间，则a的取值范围是)0,(．10．若函数21)(xxxf在（a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是)1,2(．11．函数y=2x3-3x2-12x+5在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是-1012（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:xy12345-1-2-3O1-2-①函数y=f（x）在区间（－3,－21）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－21,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－21时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____________解析:当x∈（4,5）时,恒有f′（x）＞0.答案:③三．计算与证明13．（1）求函数f（x）=x3-x2-40x+80的单调区间；（2）若函数y=x3+bx2+cx在区间（-∞，0）及[2，+∞）是增函数，而在（0，2）是减函数，求此函数在[-1，4]上的值域．解：（1）单调增区间,4),310,(；单调减区间]4,310[（2）b=-3,c=0；此函数在[-1，4]上的值域为[-4，16]．14．设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且曲线f(x)在P点出处的切线方程为24x+y-12=0，又函数在x=2出处取得极值-16，求该函数的单调递减区间．解：设P点的坐标(0，d)，d=12cbxaxxf23)(2，-24=k=cf)0(，又-16=8a+4b+2c+d=8a+4b-36∴2a+b=5①,另由0)2(f得3a+b=6②由①②解得a=1，b=3；由此解0)(xf得-4≤x≤2，所求区间[-4，2]．15．若函数f(x)=ax3+x，(1)求实数a的取值范围，使f(x)在R上是增函数．(2)求实数a的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间．分析若条件(1)成立，则f'(x)0对x∈R恒成立，据此可解得a的范围；若条件(2)成立，则方程f'(x)=0应当有两个不等实根，可由判别式大于0求得a的范围．解f'(x)=3ax2+1(1)∵f'(x)=3ax2+1对x∈R恒成立，f(x)在R上是增函数，∴当a≥0时，f'(x)0(2)令3ax2+1=0有两个不等实根，∴Δ=-12a0，∴a0点评求函数的导数和解相关的不等式是研究函数单调性的常用手段和关键所在16设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）f（x）=3x2+2mx+n.∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x=0时，f（x）取到极大值.∴f（0）=0.∴n=0.（2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），f（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－32m，∵函数f（x）在［0，2］上是减函数，∴x2=－32m≥2.∴m≤－3.∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.17．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为x512m，因此新墙总长度L=2x+x512(x0),4分xx512L′=2－2512x.令L′=2－2512x=0,得x=16或x=－16.6分∵x0,∴x=16.7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴x512=32.9分故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.10分18．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则41x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（单位：2m）帐篷的体积为：)28(233V2xxx）（]1)1(31[x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V'2xx）（。令0V'）（x，解得2x（不合题意，舍去），2x，当21x时，0V'）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V'）（x，）（xV为减函数。∴当2x时，）（xV最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。OO1