导数在经济分析中的应用

补充内容导数在经济分析中的应用Email:[e-mail]本节介绍导数在经济学中的应用一一边际分析和弹性分析．一、边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称作边际分析方法．定义：设函数)(xfy可导，称导函数)(xfy为y=)(xf的边际函数．这只不过是经济上对导数的另一种叫法，但现在仍遵循这个叫法．常用的有：（设产量为Q）1、如果成本为)(QCC，则C’=C’(Q)是边际成本；2.如果收入为)(QRR，则R’=R’(Q)是边际收入；3、如果利润为)(QLL，则L’=L’(Q)是边际利润。等等。由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即)()()(QCQRQL由导数的运算法则可知)()()(QCQRQL即边际利润为边际收入与边际成本之差．)(0xf表示边际函数在0xx处的值，它反映了函数)(xfy在点0x处y关于x的变化速度．在点0x处，x改变了一个单位，即1x，y相应地改变了y，如果单位很小，则有)(0xfdyy．这说明函数)(xf在0xx处，当x有一个单位改变时，函数)(xf近似改变了)(xf．如：函数2xy，xy2，在10x处边际函数值为20)10(f，它表示了当10x时，若x改变了一个单位，函数y近似地要改变20个单位．例1设某商品的成本函数为1010002QC(Q)(单位：C-元，Q-吨)求当120Q时的总成本、平均成本、及边际成本，且当产量Q为多少时平均成本最小，并求出最小平均成本．解总成本1010002QC(Q),2440C(120)(元)平均成本QC(Q)(Q)C，33.20)120(C(元/吨)边际成本5Q(Q)C，24)120(C（什么单位？？）平均成本函数y=,QQ(Q)C101000由于y’=10110002Q(Q)C令y’=0，得唯一驻点100Q．所以当100Q时，平均成本最小，且最小平均成本为20(100)C．例2某厂生产某种产品Q件时的总成本函数为201.0420)(QQQC（元），单位销售价格为QP01.014（元/件），求收入函数),(QR并问产量（销售量）为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？解：QQPQR)()(QQ)01.014(201.014QQ)()()(QCQRQL)01.014(2QQ)01.0420(2QQ202.01020QQ)('QLQ04.010令0)('QL，得唯一驻点250Q．)250(L)(123025002.025010202元即产量为250件是可使利润达到最大，最大利润是1230元.例3已知某商品的需求函数是PQ1001200（件），其中P是价格（元/件），求使收入最大的销售量Q和相应最大收入.解：PQ100120010012QPQQPQR)()(100122QQ)('QR5012Q令0)('QR05012Q得唯一驻点600Q．)600(R)(3600100600600122元即使收入最大的销售量为600件，最大收入为3600元.二、弹性分析弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究．如：甲商品单位价格2元，提价x=1元；乙商品单位价格1000元，提价x=1元．两种商品绝对改变量都是1元，但人们的感受是不一样的。仅仅考虑变量的改变量还不够．当x取改变量x时，称0xx为x在点0x的相对改变量，称)()()(0000xfxfxxfyy为函数y在点0x的相对改变量（上例）各与其原价相比，两者涨价的幅度差异很大，甲商品提价10%，乙商品提价5.0%．因此，商品价格上涨的百分比更能反映商品价格的改变情况，有必要研究函数的相对改变量与相对变化率．下面给出弹性的一般概念．定义：设函数)(xfy在点0x的邻域内有定义，．若000//limxxyyx存在，则称该极限值为函数)(xfy在点0x处的相对变化率或弹性．记作0xxExEy或ExxEf)(0，即0xxExEy000//limxxyyx若)(xfy在点0x可导，则0xxExEy000//limxxyyxxyyxx000lim)(000xfyx000)()(xxfxf对于任意点x，若)(xf可导，则称)()(xfxfxEyEx为)(xf的弹性函数；由定义可知，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，它反映y随x变化的幅度大小，也即y对x变化反应的强烈程度或灵敏度，或解释成当自变量x变化百分之一时，函数)(xf变化的百分数．从定义还可以看出，函数的弹性与各有关变量所用的计量单位无关，因而弹性概念在经济学中得到广泛应用．例4求函数xy23，在3x处的弹性．解因2y，则yxExEy2，3x，9y，即3xExEy32例5求函数xey32的弹性函数ExEy．解xeexeexyyxExEyxxxx3)6(2)2(23333例6求幂函数axy（a为常数）的弹性函数．解aaxxxxxxyyxExEyaaaa)()(1由此可见，某函数的弹性函数为常数，所以也称幂函数为不变弹性函数．在经济问题中通常考虑的是需求与供给对价格的弹性．例设某商品的需求函数5PeQ，求3P，5P，6P时的需求弹性．解QPPfEPEQ)(5)5()(5555PeePeePPPPP3PEPEQ53,5PEPEQ1,6PEPEQ56表明：3P时，当P从3上升（下降）1%，Q相应下降（上升）53%；5P时，当P从5上升（下降）1%，Q相应下降（上升）1%；6P时，当P从6上升（下降）1%，Q相应下降（上升）56%．定义若0PPEPEQ1，表示Q变动幅度小于P变动幅度，此时称低弹性；若0PPEPEQ1，表示Q变动幅度与P变动幅度相同，此时称单位弹性；若0PPEPEQ1，表示Q变动幅度大于P变动幅度，此时称高弹性．例7设某商品的供给函数PeQ23，求供给弹性函数及1P时的供给弹性．解QPPEPEQ)(PeePePePPPP2)6(33)3(22221PEPEQ2说明，当价格从1上涨（减少）1%，则供给量相应地增加（减少）2%．例8已知需求量Q（单位：百件），价格P（单位：千元），需求价格函数为：315)(PePQ，10,3P求当9P时的需求弹性．解：因为EPEQPPQPQ)()(EPEQ331151533PeePPP）（－所以9PEPEQ339例9已知需求函数22150)(PPQ，)8,0(P,（1）求需求弹性；（2）问P取何值时，EPEQ为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性．解：（1）EPEQPPQPQ)()(=22752PP（2）由175222PP，得5P;0-----------------------------5-------------------------8175222PP175222PP即当5P时，EPEQ为单位弹性；当50P时，EPEQ为缺乏弹性；当85P时，EPEQ为富有弹性．习题1.某产品的价格与需求量的关系为420QP，求总收益函数及需求量为20时的总收益．2．某产品生产x单位的总成本C为x的函数:2120011100)(xxC求（1）生产900单位时的总成本和平均单位成本；（2）生产900单位到1000单位时总成本的平均变化率；（3）生产900单位到1000单位时的边际成本．2．某产品生产x个单位的总收益R为x的函数，201.0200)(xxxR，试求生产50单位产品时的总收益及平均单位产品的收益和边际收益．4．设某种产品的需求函数和总成本函数分别为801.0QP,QQC205000)(其中Q为销售量，P为价格．求边际利润函数，并计算150Q和400Q时的边际利润，解释所得结果的经济含义．5.设某厂每天生产某种产品x单位的总成本函数为9800365.0)(2xxxC（元）问每天生产多少个单位的产品，平均成本最低？6.设某厂生产某种产品x单位时，其销售收入为xxR3)(，成本函数为124.0)(2xxC，求使总利润达到最大的产量x．7．设某商品需求函数为4PeQ，求需求弹性函数及3P，4P，5P时的需求弹性．8．求下列需求函数的弹性，并指出价格P取何值时，是富有弹性或缺乏弹性的：（1）)2(100PQ（2）bQaP)0,(ba