导数在解题中的应用

毕业论文（2014届）题目导数与函数单调性____学院数学计算机学院__专业数学与应用数学（师范)年级2010级学生学号10410503008学生姓名李菲菲指导教师汤晓燕2014年5月8日导数与函数的单调性数学计算机学院数学与应用数学专业2014届李菲菲摘要:这篇论文强调了导数在中学教学中的重要地位，它主要是通过研究导数在函数单调性中的应用来体现的，关键词：导数；参数;函数；单调性。1引言在中学教学中，导数扮演着重要的角色，导数是高中新引入的内容，导数的引入对于高中知识的拓展有着重要的意义，使得学生在问题的解答思路上有了更新的认识，从而使复杂问题简单化，也为大学学习的微积分打下了很好的基础。因此，导数中学教学中的应用时很广泛的，比如：求方程的根、求曲线的切线方程、求函数的解析式、证明不等式、研究函数的单调性质等等。然而，导数的引入不仅在数学教学中起到了不可忽略的作用，在物理、化学等教学中也涉及到了导数的运用，。在近几年的高考中，我们会发现，导数在解决问题上的地位越来越引起我们对它的重视。所以，重视导数在教学中的重要作用，是我们应该关注的问题，这就需要我们对导数有更深的认识，并利用导数在实际问题中解决问题。2导数的产生及概念对于导数的产生，我们来看这样一个物理问题。有一个质点在x轴上运动，它在x轴上的位置x与时间存在这样一个关系：x=f(x)，那么如何求得质点在t0时的速度？解析：质点在x轴上的位移随着时间t的变化而在不断的变化，当时间t存在一定的增量△t时，也存在相应的增量△x，并有，它表示质点在一定时间段上的位移大小。然而，我们可以根据位移、速度、时间三者之间的关系求得质点某段时间内的平均速度为：.在这里，我们不知道质点做的是否是匀速运动，所以我们不知道质点的速度是否在发生变化。但我们可以肯定的是无论质点做的是什么运动，当时间段△t接近0时，质点的平均速度接近t0时的速度，存在：t0时的瞬时速度=。因此就有了导数的概念：导数的定义：对于一个函数)(xfy，当函数从x1到x2发生变化时，函数的平均变化率为1212xxxfxf，也就是说当自变量有相应的增量△x,则函数的平均变化率为xxfxxf00，而函数在x0的瞬时变化率为0limxxxfxxf00，它表示函数在x=x0处的导数，记为0xf0limxxxfxxf00。3探究函数的性质导数在函数中的应用时非常广泛的，利用导数，可以直接判断出函数的单调性质，让复杂问题简单化，避免运用求差法，而使得问题复杂化，从而达不到我们想要的教学效果。3.1利用导数判断函数的单调性质设函数y=xf在某个区间),(ba中可导，若对),(ba中所有x而言，存在Ⅰ）0fx，则xf在),(ba中是增函数；Ⅱ）0fx，则xf在),(ba中是减函数；Ⅲ）xf=0，则xf在),(ba中函数值不变.由此可见，要判断函数的单调性.直接可以通过对函数进行求导，然后对其导函数的正负性进行判断，从而判断出函数的单调性质。注：应正确理解“某个区间”的含义它必是定义域内的某个区间。3.2典型例题题型一利用导数求函数的单调性和单调区间此类题目需注意函数的定义域，求的单调区间必须在定义域围内，以零为界点，通过判断导数的符号来判断单调性。例1.求函数xxay12在x[0,1]上的单调性（aR）.分析：此题因为a值未知，所以需先讨论a值得大小。解：由题意可知，可令xt，得ttay212，t[0,1]上的单调性.当a0时，tf在t[0,1]上为增函数；当a0时,因()ft=312ta，则由()0fx，得312ta=0.有t=3a1-，即当t(0,3a1-)时，0xf，tf在t（0，3a1-）上为增函数；当t),a1(-3时，0xf，tf在t),a1(-3上为减函数.又因为当01a时1a1-3，tf在1,0t上为增函数，121aftf，当1a时，1a1-3，则tf在t（0，3a1-）上为增函数；在t),a1(-3上为减函数.例2(2013广东卷理）设函数f(x)=（x-1)ex-kx2(kR).求当k=1时，函数f(x)的单调区间。分析：此题利用求导求函数的单调区间，主要通过判断导数符号，同时，注意单调区间有多个是应该怎样表述。解：由已知当k=1时，f(x)=（x-1)ex-x2f´(x)=x·(ex-2),当f´(x)=0时，（x-1)ex-x2=0x1=0.x2=0x(﹣∞,0)(0,ln2)(ln2,﹢∞)f´(x)﹥0﹤0﹥0f(x)↗↘↗所以，f(x)在(﹣∞,0)和(ln2,﹢∞)上单调递增，在(0,ln2)上单调递减小结：如果f´(x)=0的点不唯一，则哈数的单调区间有多个。且不能用符号∪连接，需用“和”、“及”等连接。并且所求区间应考虑在定义域范围内。题型二含参数的函数单调性讨论这类题目是历年考试中常见的题，不能直接求出函数的单调性，需对参数值进行讨论，体现了分类讨论的思想，扩展了人们的思维方式。例2：（2009安徽卷理）已知函数)0(),ln2(2)(mxmxxXf，讨论)(xf的单调性。分析：本题主要是利用导数的知识对函数单调性进行研究，因为a值未知，所以函数的单调性对a值进行讨论，这就需要我们用到分类讨论的思想，对)(xf的单调性质进行讨论。解：由函数)(xf可知，0m，所以函数)(xf的定义域为（0，+∞），222221)('xmxxxmxXf设2)(2mxxxg，则82m.讨论：①当82m0,即220m时，对任意的0m有)('xf0,则函数在（0，+∞）上是增函数。②当82m=0时，即2m时，对任意的m=0.)('xf0，则函数在（0，+∞）上也是增函数。③.2122210,28,28xxmmxmmx当82m0时,即22m时，方程有两个不同的实根：函数的单调性如下：x1,0x1x)(2,1xx2x,2x)('xf00000)(xf↗极大↘极小↗由上可得)(xf在28,02mm上单调递增，在)28,28(22mmmm上是单调递减，在),28(2mm上单调递减。例2（09重庆卷理）设函数)0()(2kknxmxxf在m=0处取得极值，且曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线垂直于直线012yx。⑴求m,n的值；⑵若函数)()(xfexgx，讨论)(xg的单调性。分析：这题综合了题型一和题型二，第一问由单调性求得参数值，第二问又求复合函数的单调性，考查了运算能力。解：⑴因)0()(2kknxmxxf，得nmxxf2)('又)(xf在x=0处取得极值，故0)('xf，即n=0由)(xfy在1，)1(f）处的切线垂直于直线012yx，知切线的k=2，即)1(f=2,2m=2，m=1⑵由上可知，)0(,)(2kkxexgx，222222222)()2()(2)()('kxkxxekxxekxexg，令g´（x）=0，有x2_2x+k=0①当△=4—4k0,k1时,g´(x)0在R上恒成立，故当看k1时，g(x)在R上为增函数②当△=4—4k=0,k=1时，g´（x）=222)()1(kxxex0（x≠0),故当k=1时，g(x)在R上为增函数③当△=4—4k0,0k1时，方程x2_2x+k=0有两个不相等的实数：根)时，g′(x)0kxkx11,1121即x∈(﹣∞,x1)时，g′(x)0，g(x)为增函数x1xx2时，g′(x)0，g(x)为减函数x∈（x2，﹢∞)时，g(x)为增函数小结:这类题目主要是考查了分类思想在数学中的运用，需要有缜密的逻辑思维，对参数进行全面的讨论，这题主要就是结合了导数在函数单调性中的运用对参数值分类讨论。题型三已知单调性求参数范围此类题目通常转换为不等式的恒成立问题，通过函数的单调性判断导数的正负性，继而求得参数值。例1（2013安徽卷理）“m≦0”是函数f(x)=|(mx-1)|在区间（0，﹢∞）单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件分析：这题是一个一直参数的取值求函数单调性的题，也是一个由单调调性求参数取值范围的题，只是出题的形式不同。解析：判断充分性。当m=0时，f(x)=|x|,y=f(x)在在区间（0，﹢∞）单调递增当m0且x0时，f(x)=(-mx+1)x,f′(x)0,f(x)单调递增判断必要性。当y=f(x)在在区间（0，﹢∞）单调递增时，m≦0所以答案选D.例2（05天津理）若函数)(3log)(bxxbxf(b0,b≠1)在区间(21,0)内单调递增，则b的取值范围是（)A[41,1)B[43,1)C(49,+∞)D(1,49)解析：f(x)是对数函数，需分0b1及b1考虑.令g(x)=x3-bx因为f(x)在(21,0)上是增函数，①若0b1，则g(x)在(21,0)上为减函数，即g′(x)=3x²-b0在(21,0)上恒成立，即b3x²在(21,0)上恒成立,所以b≥3(21)²=43,此时，43≤b＜1；②若a1，则g(x)在(21,0)上为增函数，要使g′(x)=3x²-b0在(21,0)上恒成立,即b＜3x²在(21,0)上恒成立,故b≤0,与题意矛盾。所以，a∈[43.1).点评：解决函数有关问题，要注意函数的单调性，通过讨论函数的单调性，来判断参数的取值，是题型二的一种逆向思维，也体现了分类讨论的思想。3结束语.谢辞非常感谢我的导师，感谢她一直以来的虚心指导，我获得的不仅仅是一片论文，更重要的是我学得了对待事情的态度，态度决定一切。参考文献[1]同济大学数学教研室，高等数学[M].4版.北京:高等教育出版社,1996:97.[2]同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].高等教育出版社，2005，94-107.[3]窦宝泉，导数在中学教学中的应用[J].数学通讯,2003(12),12-13.[4]徐智愚,用导数解初等数学题[J].数学通报,2000(10),35.[5]高群安,运用导数巧解题[J].2005(4),22-23.[6]李绍平.高考对导数问题考查的五大热点.中学数学研究.2004(5)