导数复习知识点总结

2012级数学1拓展材料三：导数及其应用（详细答案）（一）本单元在高考中的地位和作用导数是研究函数的有力工具，是对学生进行理性思维训练的良好素材。导数在处理单调性、最值等问题时,能降低思维难度,简化解题过程.其地位由解决问题的辅助工具上升为解决问题的有力工具，因此导数的应用是导数的重点内容，从近几年的高考命题分析,对导数主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用以及综合推理能力,这三个热点.可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景(如瞬时速度、加速度、切线的斜率等)，求导公式(mxc,(m为有理数)，xxaexxaxxlog,ln,,,cos,sin的导数)和求导法则第二层次是导数的应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、函数的零点、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在高考中导数的应用主要有以下四方面：①导数的几何意义；②可导函数的单调性与其导数的关系；③可导函数的极值与其导数的关系；2012级数学2④可导函数的最值与其导数的关系.另外导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上；应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题的最值。因此导数的应用为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。(二)本单元的考纲要求、复习措施：考纲要求：（1）了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．（2）熟记基本导数公式。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．2012级数学3（3）了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。（4）了解复合函数的概念（理科）。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数求导法则，并会用法则解决一些简单问题。导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题逐步加深．有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值．由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意．考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间[a，b]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题．研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题．利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.复习措施：(1)紧扣教材，准确把握概念、法则，夯实学生解题的规范性。(2)抓主线，攻重点，针对重点内容，结合前几年高考题，重点知识点重点突破。(3)重视转化、数形结合和分类讨论思想方法的运用2012级数学4(4)注意本部分知识与其它章节的联系，对与知识的交汇问题，重点放在逻辑思维、推理能力的培养上，尽量减少繁杂运算。要充分利用建模思想。（三）本单元的典型试题类型及解题方法、策略1.设函数2()(0)fxaxca.若)()(010xfdxxf，0≤x0≤1,则x0的值为______.2.设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（Ⅲ）设322()3gxxx，试比较()fx与()gx的大小．3.已知函数321()33fxaxbxx,其中0a.(1)当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?(2)已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.4.设函数)1ln()(2xaxxf有两个极值点12xx、，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224Infx.5.已知函数xxf)(，)1ln()(xxg，.1)(xxxh（1）证明：当0x时，恒有);()(xgxf（2）当0x时，不等式)0()(kxkkxxg恒成立，求实数k的取值范围;2012级数学5拓展材料三：导数及其应用参考答案1.解：1123120000013()|,333afxdxaxcaxcxcaxcx2.解：（Ⅰ）因为122()e(2)32xfxxxaxbx1e(2)(32)xxxxaxb，又2x和1x为()fx的极值点，所以(2)(1)0ff，因此6203320abab，，解方程组得13a,1b．（Ⅱ）因为13a，1b，所以1()(2)(e1)xfxxx，令()0fx，解得12x，20x，31x．因为当(2)x，(01)，时，()0fx；当(20)(1)x，，时，()0fx．所以()fx在(20)，和(1)，上是单调递增的；在(2)，和(01)，上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3xfxxxx，故21321()()e(e)xxfxgxxxxx，令1()exhxx，则1()e1xhx．令()0hx，得1x，因为1x，时，()0hx≤，所以()hx在1x，上单调递减．故1x，时，()(1)0hxh≥；因为1x，时，()0hx≥，所以()hx在1x，上单调递增．故1x，时，()(1)0hxh≥．所以对任意()x，，恒有()0hx≥，又20x≥，因此()()0fxgx≥，故对任意()x，，恒有()()fxgx≥．3.解:(1)由已知得2'()21fxaxbx,令0)('xf,得2210axbx,)(xf要取得极值,方程2210axbx必须有解,所以△2440ba,即2ba,此时方程2210axbx的根为2012级数学62212442bbabbaxaa,2222442bbabbaxaa,∴12'()()()fxaxxxx.当0a时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.(2)要使)(xf在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22axbxx恒成立,所以max1()22axbx设1()22axgxx,2221()1'()222axaagxxx,令'()0gx得1xa或1xa(舍去).当1a时,101a,当1(0,)xa时'()0gx,1()22axgxx单调增函数;当1(,1]xa时'()0gx,1()22axgxx单调减函数,所以当1xa时,()gx取得最大,最大2012级数学7值为1()gaa.所以ba当01a时,11a,此时'()0gx在区间(0,1]恒成立,所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增,当1x时()gx最大,最大值为1(1)2ag,所以12ab综上,当1a时,ba;当01a时,12ab.4.解:（I）2222(1)11axxafxxxxx.令2()22gxxxa，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程()0gx的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为480(1)0aga，得102a⑴当1(1,)xx时，0,()fxfx在1(1,)x内为增函数；⑵当12(,)xxx时，0,()fxfx在12(,)xx内为减函数；⑶当2,()xx时，0,()fxfx在2,()x内为增函数；（II）由（I）21(0)0,02gax，222(2)axx+222222222221(2)1fxxalnxxxxlnx+2,设221(22)1()2hxxxxlnxx，则22(21)122(21)1hxxxlnxxxlnx⑴当1(,0)2x时，0,()hxhx在1[,0)2单调递增；⑵当(0,)x时，0hx，()hx在(0,)单调递减。2012级数学81112ln2(,0),()224xhxh当时,故22122()4Infxhx．5.解：（1）设)()()(xgxfxF，则)('xF=xxx1111，当0x时，0)('xF，所以函数)(xF在（0，)单调递增，又)(xF在0x处连续，所以0)0()(FxF，即0)()(xgxf，所以)()(xgxf。（2）设xkkxxgxG)()(，则)(xG在（0，)恒大于0，xkkkxxG2)1ln()(，22222))(1()2()(11)('xkxxkkxxkkxxG，0)2(22xkkx的根为0和,22kk即在区间（0，)上，0)('xG的根为0和,22kk若022kk，则)(xG在)2,0(2kk单调递减，且0)0(G，与)(xG在（0，)恒大于0矛盾；若022kk，)(xG在（0，)单调递增，且0)0(G，满足题设条件，所以022kk，所以.20k。