导数总复习

导数一．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量y=f(x0+Δx)－f(x0)，比值yx叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即yx=00()()fxxfxx。如果当Δx→0时，yx有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0)或y’|0xx。即f(x0)=0limxyx=0limx00()()fxxfxx。说明：(1)函数f(x)在点x0处可导，是指Δx→0时，yx有极限。如果yx不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。(2)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0时，而Δy是函数值的改变量，可以是零。2．导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。相应地，切线方程为y－y0=f’(x0)(x－x0)。3．常见函数的导出公式．'0C（C为常数）；1()',*;nnxnxnQ(sin)'cos;xx(cos)'sin;xx()';xxee()'ln(0,1);xxaaaaa1(ln)';xx1(log)'(0,1)lnaxaaxa.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：[()()]''()'();uxvxuxvx法则2：[()()]'()()()'();uxvxuxvxuxvx法则3：2()'()()()'()'(()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx.5．导数的应用(1)一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f’(x)0，则f(x)为增函数；如果f’(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常数；(2)曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3)一般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数f(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=212gt，(1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度；(2)求t=3秒是瞬时速度。例2．求函数y=24x的导数。题型2：导数的基本运算例3．(1)求)11(32xxxxy的导数；(2)求)11)(1(xxy的导数；(3)求2cos2sinxxxy的导数；(4)求y=xxsin2的导数；(5)求y＝xxxxx9532的导数。例4．写出由下列函数复合而成的函数：(1)y=cosu，u=1+x2(2)y=lnu，u=lnx(3)y=e2x(4)y=eu，u=x2题型3：导数的几何意义例5．(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为A．4x-y-3=0B．x+4y-5=0C．4x-y+3=0D．x+4y+3=0(2)过点(－1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为()(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0例6．(1)半径为r的圆的面积S(r)＝πr2,周长C(r)=2πr，若将r看作(0,＋∞)上的变量，则(πr2)’＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②；②式可以用语言叙述为：。(2)曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7．(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f’(x)0，则必有()A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)2f(1)(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个(3)已知函数11axxfxex。(I)设0a，讨论y=f(x)的单调性；(II)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围。例8．(1)32()32fxxx在区间1,1上的最大值是()(A)－2(B)0(C)2(D)4(2)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1。(I)求f(x)的单调区间；(II)讨论f(x)的极值。题型5：导数综合题例9．设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，该平面上动点P满足•4PAPB,点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点.求(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.例10．设函数f(x)=21axxa，x∈(0,1]，a∈R+。(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值。考向一求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．考向二函数的单调性与导数【例2】►已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．【训练2】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．考向三利用导数解决不等式问题【例3】►设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.考向四函数的极值与导数【例4】►(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－12对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．【训练4】(2011·安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．考向五函数的最值与导数【例5】►已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．【训练5】函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在[0，t](t0)内的最大值和最小值．考向六用导数解决生活中的优化问题【例6】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【训练3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？练习：导数定义例1．11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，则ab例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）hhafhafh2)()3(lim0；（2）hafhafh)()(lim20例3．观察1)(nnnxx，xxcos)(sin，xxsin)(cos，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。利用导数证明不等式例4．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2,0(x（相除）（3）xxxxtansin)2,0(x利用导数求和例6．利用导数求和：（1）；（2）。单调区间讨论例7．设0a，求函数),0()(ln()(xaxxxf的单调区间.例8.已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.例9.已知函数321()33fxaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.分离常数例10.已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.学科网例11.已知函数()lnfxx,()(0)agxax,设()()()Fxfxgx．（Ⅰ）求函数()Fx的单调区间；学科网（Ⅱ）若以函数()((0,3])yFxx图像上任意一点00(,)Pxy为切点的切线的斜率12k恒成立，求实数a的最小值；学科网学科网求取值范围例13设函数329()62fxxxxa．（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围．例13设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中（Ⅰ）当时，1m曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(xf有三个互不相同的零点0，21,xx，且21xx。若对任意的],[21xxx，)1()(fxf恒成立，求m的取值范围。导数与数列例14已知函数2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，'()fx是f(x)的导数；设11a，1()'()nnnnfaaafa（n=1,2,……）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有naa；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。导数与解析几何例15.已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．例16已知a是实数，函数axaxxf3222，如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围.例17若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf有极值34，（1）求函数的解析式；（2）若函数kxf)(有3个解，求实数k的取值范围．例18已知函