导数教学中数学实验教学设计与反思

1导数教学中数学实验教学设计与反思浙江师范大学数理学院（浙江省泰顺县第一中）何向阳摘要：《基础教育课程改革纲要（试行）》的公布标志着新一轮课程改革的开始，其观念之新，范围之广，力度之大，是建国以来所少见的，也是我国近代教育所少见的。如何让学生认识到数学是自然的，数学是清楚的。笔者借助几何画板引入数学实验，以高中数学导数部分为例，根据导数的几何意义，通过教师的模拟演示实验、学生的验证实验和探索实验，在教学活动中，通过师生之间、生生之间生动而丰富的“协作”、“会话”，完成对几种常见函数的导数的认识。突破了由于数学逻辑推理的复杂性、学生认知水平的不足而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境。关键词：几何画板数学实验数学教学实验数学是指在数学领域中运用数、空间和排列等数学元素和方法进行的系统实验。纵观数学发展史，数学家们总是通过实验发现可能的数学事实，然后再给出严格的数学证明。可见在数学发现中，数学实验有着非常重要的作用。近年来由于计算机技术的迅速发展，实验数学展示了前所未有前景，为数学教育提供了探索和发现的工具，正影响着教师的教与学生的学。下面是我在几种常见函数的导数教学中利用《几何画板》开展数学实验的尝试。联系实际，提出科学问题问题1：如图，质点P在半径为1cm的圆周上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设A为起始点。（1）求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的运动方程；（2）求点M在时刻t时的速度。（利用几何画板课件模拟质点运动）问题2：（1）试用导数的定义求下列函数的导数：y=3，y=2x，y=3x；（2）由（1）的结果，你能总结出这些函数导数的一般规律吗？（3）当n∈Q时，公式1()'nnxnx是否成立？教学中，我让学生分组完成这两个问题，渐渐地，各学习小组为了求y=sinx、y=xn（n∈Q）的导数，陷入了困境。建构主义学习观认为，学习是学习者对新信息的意义主动建构的过程。面对学生呈现出的认知2冲突，我没有直接给出结论，而是启发学生从导数的几何意义入手，从函数的图象上探索解决问题的方法。得到了教师的点拔，学生开始有了想法。学生（以下简称S）1：如能画出导数的图象就好办了，我们也许可以从图象上得到函数的导数。教师（以下简称T）：这想法好，从原函数出发，能画出导数的图象吗？画函数的图象常用什么方法？S2：有了，用描点法，先画出曲线y=f(x)在点(x0，y0)处的切线，并想办法求它的斜率k，便可描出点(x0，k)，则点(x0，k)是y=f(x)的导数图象上的点。S3马上说：你的想法好是好，现实吗？S2：可以呀，通过几何画板就能做到。T：几位同学分析得很好，使用“几何画板”时，点(x0，k)只需画一点就行了，通过“几何画板”的追踪功能，拖动曲线的切点便可轻松得到导数的图象。下面就请几何画板帮忙，看看能得到什么。实例分析：以几何画板教学软件为平台的现代数学实验，是模拟实验环境进行教学的新型教学模式，是信息技术与数学课程整合的理想模式之一。教师通过信息技术手段，引导学生通过实验操作，主动、积极、批判地思考，发现、验证数学命题，体验数学发现和创造历程，发展他们的创新意识和实践能力。实验1：函数y=xn（n∈Q）的导数[实验目的]（1）学会用实验验证函数的导数；（2）认识和感受导数的几何意义。[实验步骤]（1）绘制函数y=xn(n=)及y=nxn-1的图象；（2）用[自定义工具]作过y=xn的图象上点P处的切线；（3）[度量]P的横坐标xP及切线的斜率k，[绘制]点A（xP，k），并观察点A（xP,k）与函数y=nxn-1的图象有什么关系。拖到点P时，看到了什么现象？这说明了什么？（4）在y=nxn-1的图象上任一点B，[度量]B的横、纵坐标xB、yB；（5）绘制直线y=yB(x-xB)+xBn，并观察直线与函数y=xn的图象有什么关系。拖到点B时，3看到了什么现象？这说明了什么？（6）通过实验你得到了什么结论？[实验分析]S4：我们小组取n=0.5。拖到点P时，看到了点A（xP，k）在y=0.5x-0.5的图象上运动，这说明了y=x0.5的导数图象上的点在y=0.5x-0.5的图象上；拖到点B时，看到直线与函数y=x0.5的图象始终保持相切，这说明了点B在y=x0.5的导数图象上；因此我们小组得出的结论是：公式1()'nnxnx中的n可以是有理数。通过反馈得知，选做这个实验的其他各小组同学虽指数的取值各不相同，却都得到了相同的结论。实验2：函数y=sinx和y=cosx的导数[实验目的]（1）学会用实验探求函数y=sinx、y=cosx的导数；（2）体验几何画板作为学习数学的工具，感受创新的快乐；（3）学会探索、归纳、完成数学发现。[实验步骤]（1）绘制函数y=sinx和y=cosx的图象；（2）用[自定义工具]作过y=sinx或y=cosx的图象上点P处的切线；（3）[度量]P的横坐标xP及切线的斜率k，[绘制]点A（xP，k），并[追踪]点A；拖到点P时，看到了什么？（4）得到的踪迹是谁的图象，试根据点A的踪迹写出它的函数关系式。（5）通过实验你得到了什么结论？[实验分析]S5：我们小组通过实验发现点A的踪迹是余弦函数y=cosx的图象，也就是y=sinx的导数的图象，这说明正弦函数的导数是余弦函数，即'(sin)cosxx。S6：我们小组通过实验发现点A的踪迹刚好是正弦函数y=sinx的图象向左平移π个单位，即4'(cos)sin()sinxxx。S7：如画出y=sinx的图象，你会发现点A的踪迹与y=sinx的图象关于x轴对称，因此有'(cos)sinxx以上三个实验分小组完成，每小组承担一个实验，教师巡逻指导，并指点计算机操作能力较弱的学生借助课件里的帮助文本进行作图，最终成功地发现了几种常见函数的导数。案例分析，反思实验教学建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四大要素或四大属性。在以上的教学设计中，教师利用现代教育技术为学生的学习研究创设情景，提供平台，让学生在自己的活动中，通过他们之间生动的丰富的“协作”、“会话”，完成对几种常见函数的导数的认识——意义建构。这样的教学效果是传统的教学方式所无法比拟的。1、转变教学理念，顺应课程改革在高中阶段，导数作为大学微积分内容的一种缩编，以一种特殊的极限来讲，无论是导数的概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教、来学。这往往成了学生学习的障碍，影响了学生对导数思想和本质的认识与理解。《标准》强调对导数本质的认识，更作为一种重要的思想、方法来学习，淡化了导数的计算，只要求会用基本初等函数的导数及法则进行计算，并指出要避免过量的形式化运算练习；提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义解决问题的要求，体现几何直观这一重要思想方法对于数学学习的意义和作用。因此，借助于“几何画板”这一动态的、能够“做数学”的教学软件，根据导数的几何意义，引入数学实验，反复通过函数的图象去认识、探索、发现几种常见函数的导数。扩大了数学实践的内容和范围，使教学活动不再局限于演绎推理的形式之中，利于学生对知识的建构，利于学生认识和感受导数的几何意义，经历用导数的几何意义去解决问题、发现数学规律的过程。2、结合学生实际，优化课堂教学教师用几何画板课件模拟质点P的运动，揭示运动规律，为学生创设了生动形象的教学情境，引起学生极大的兴趣，为下一步探索问题创造一个良好的开端。在教学中，对“为什么公式1()'nnxnx中的n可以是有理数”、“'(sin)cosxx”和“'(cos)sinxx”等的认识，由于数学逻辑推理的复杂性、学生认知水平的不足，常常成了教学的“死点”。这样的教学设计中，把重点放在对知识的重新组织上，让学生利用导数的几何意义通过数学实验进行直观处理，实现对几种函数的导数的认识，极大地改善了学生的数学思维环境，5救“活”了这个“死点”，改进了学生的学习方式，为学生提供了更加广阔的思维空间。在三个实验中，通过拖动点P的连续变化，把函数的切线、切线的斜率及以斜率为坐标的点、导函数的图像之间的内在联系紧密地结合在一起，并使四者都得到了直观、动态的表示，这就使学生所面对的数学对象和数学过程的性质发生了改变，使学生通过自主的、积极主动的数学思维而成功地建构数学结论、解决数学问题的可能性大大增加了。3、在实验中要做好引导和监控教师在实施数学实验教学时，要根据实验对象的特点，为学生的数学实验创设一定的条件和环境；要仔细考虑可能发生的问题，周密准备，使学生在有限的时间内完成对某个数学对象的实验，并使学生明白实验的结果只是给我们提供了一种可能或解释，并不一定正确，严密的论证是必不可少的。教师对学生实验的干预要体现“教师为主导，学生为主体”的原则，介入太早，教师成为中心；介入太迟，教师难以体现主导作用。在实验数学对象的选择上，要顾及教学课时、时间等因素的限制。因此，可以从以下几个角度选择一定的实验对象：在以往的教学中难以呈现的数学对象；课程内容中比较重要的数学对象；比较容易创造条件和实施监控的数学对象。为了使学生有更多的数学实验的机会和足够的实验时间，多数实验可以安排在第二课堂进行。4、进行数学实验的意义运用现代教育技术构建实施素质教育的新型的数学活动形式——数学实验，正成为数学教育改革和实践的一个新热点，不论在理论上还是在实践上都具有重要的现实和深远意义。教师由课堂的主宰、知识的传授者转变为教学活动的组织者、学习情境的创设者、学生实验过程的指导者和意义建构的帮助者；学生从被动接受的地位转变为主动地参与、发现，探索和知识建构的主体地位；教学过程由讲授说明转变为通过情景创设，问题探索，协作学习，意义建构等以学生为主体的过程；学生的学习方式由课堂“呈现”的学习方式转变为通过数学实验实现数学发现的学习方式，培养了学生科学的方法论，使他们懂得数学的发现是遵循“实验、猜想、论证或解释”的过程，对自己通过实验发现的数学结论的理解更加深刻，必将极大地增强学生学习数学的自信心。参考文献：[1]张晓贵著，现代数学教育技术与数学教育，中国科学技术出版社，2005年4月.[2]严士健等编，普通高中数学课程标准(实验)解读，江苏教育出版社，2004年4月.[3]郑毓信、梁贯成著，认知科学、建构主义与数学教育，上海教育出版社，2002年2月.