导数的应用(一)单调性

导数的应用(一)——单调性函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x)，则f(x)为增函数；若f′(x)，则f(x)为减函数．(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的；②求导数f′(x)；③令f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围；④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数．例1(1)求函数f(x)＝x2＋1x－1的单调区间．(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间．(3)求函数f(x)＝sinx2＋cosx的单调区间．探究1(1)求函数的单调区间注意先求定义域．(2)使f′(x)0的区间为f(x)的增区间，使f′(x)0的区间为f(x)的减区间．思考题1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－1)2－ln(x－1)2；(2)f(x)＝1xlnx.例2(2013·海淀区)已知函数f(x)＝e－kxx2＋x－1k(k0)．求f(x)的单调区间．探究2求含参数的函数单调性关键在于解含参数不等式时要合理分类讨论．思考题2已知函数f(x)＝alnx＋2a2x＋x(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a∈(－∞，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤12e2.例3(1)(2013·福州)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋axx＋1(a∈R)．①当a＝2时，求函数y＝f(x)的图像在x＝0处的切线方程；②判断函数f(x)的单调性；③若函数f(x)在(a，a＋1)上为增函数，求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′(23)．①求a的值；②求函数f(x)的单调区间；③设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．探究3不恒为0的函数f(x)在区间[a，b]为增函数，可转化为f′(x)≥0，在[a，b]上恒成立，或[a，b]是f′(x)≥0解集的子集．思考题3(1)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋2在x＝1和x＝－3处取得极值．①求a、b的值；②能否将曲线y＝－3sinx经过上下平移使之与曲线y＝f(x)在x＝0处有相同的切线？若能，应怎样平移？若不能，请说明理由；③设函数g(x)＝f′(x)－mx＋m＋1，若|g(x)|在12，2上是增函数，求实数m的取值范围．1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性.基础过关1．(2012·辽宁文)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为________．2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()3．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增4．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为()A．a≥3B．a＝3C．a≤3D．0a35．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)2．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．[－1,1]D．(1,2)3．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)4．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)g′(x)，则当axb时，有()A．f(x)g(x)B．f(x)g(x)C．f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)g(x)＋f(b)5．(2013·湘西州联考)下列图像中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝________.6．(2013·衡水调研卷)已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．