导数的应用(二)最大值与最小值

导数的应用（二）最大值与最小值一.教学内容导数的应用（二）最大值与最小值一般地，在闭区间],[ba上连续的函数)(xf在],[ba上必有最大值与最小值；在开区间),(ba内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值，例如xxf1)(在),0(内的图象连续，但无最大值和最小值。设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，求)(xf在],[ba上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(xf在),(ba内的极值；（2）将)(xf的各极值与)(af，)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【典型例题】[例1]求函数5224xxy在区间]2,2[上的最大值与最小值。解：xxy443，令0y，有0443xx1,0,1x当x变化时，y，y的变化情况如下表：x2)1,2(1)0,1(0)1,0(1)2,1(2y－0+0－0+y13↓4↑5↓4↑13从上表可知，函数5224xxy在区间]2,2[上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：141026-1-2210yxyx4-2x2+5[例2]已知baxaxxf236)(，]2,1[x的最大值为3，最小值29，求a、b的值。解：依题意0a，否则bxf)(与已知矛盾。)4(3123)(2xaxaxaxxf令0)(xf解得0x或4x（1）当0a时，由210)(xxf解得01x令0)(xf，解得20x，列表如下：x1)0,1(0)2,0(2)(xf+0－)(xfba7↑极大b↓ba16由)(xf连续，则当0x时，)(xf有最大值，即3)0(bf，又由bafbaf16)2(7)1(，则)2(f为最小值，故229316aa所以，当0a时，2a，3b（2）当0a时，列表如下：x1)0,1(0)2,0(2)(xf－0+)(xfba7↓极小↑ba16故)(xf最小值为29)0(bf，)(xf最大值为232916)2(aaf所以，当0a时，2a，29b[例3]已知两个函数kxxxf168)(2，xxxxg452)(23，其中Rk（1）对任意的]3,3[x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围。（2）对任意的]3,3[1x，]3,3[2x都有)()(21xgxf，求k的取值范围。解：（1）设)()()(xfxgxh，则对任意的]3,3[x，都有)()(xgxf成立0)(minxh，]3,3[x，kxxxxh1232)(23)2)(1(61266)(2xxxxxh，令0)(xh，则1x或2x，列表如下：x3)1,3(1)2,1(2)3,2(3)(xh+0－0+)(xhk45↑k7↓k20↑k9由上表可知kxh45)(min则45045kk（2）对任意]3,3[1x，]3,3[2x都有)()(21xgxf成立)()(minmaxxgxf，]3,3[x先求)(minxg，)1)(23(24106)(2xxxxxg令0)(xg得32x或1x，列表如下：x3)1,3(1)32,1(32)3,32(3)(xg+0－0+)(xg21↑1↓2728↑111则21)(minxg再求)(xf的最大值，kxkxxxf8)1(8168)(22，]3,3[x，kfxf120)3()(max，于是14121120kk[例4]如图，在二次曲线24)(xxxf的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积。xy0ADBC解：设点B坐标)0,(x，则点C坐标为)0,4(x)4,(2xxxA，))4()4(4,4(2xxxD矩形ABCD的面积为)4)(24(2xxxS32228416xxxxxxx1612223162462xxS令0S得3322x故当3322x时，有S最大值为9332【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.函数baxaxxf232)(（0a）在]1,2[x的最大值为5，最小值为11，求)(xf的解析式。2.已知函数cbxxxxf2321)(（1）若)(xf在),(上是增函数，求b的取值范围。（2）若)(xf在1x时取得极值，且]2,1[x时，2)(cxf恒成立，求c的取值范围。3.用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？【试题答案】1.解：)34(3)(xaxxf5)0()(maxbfxf11516)2()(minafxf解之得1a，5b故解析式为52)(23xxxf2)0,2(0)1,0(1)(xf+0－)(xf516a↑极大↓5a2.解：bxxxf23)(（1）)(xf在),(上是增函数0)(xf恒成立1210121bb（2）易求得，当]2,1[x时，cfxf2)2()(max2)(cxf恒成立22cc1c或2c3.解：设容器底面边长为xm，则另一边长为mx)5.0(，高为)]5.0(448.14[41xx=x22.3则容器容积为)22.3)(5.0(xxxy)6.10(xxxxy6.12.22236.14.462xxy令0y有11x，1542x（舍），故当1x时，y有最大值，8.1maxy，此时高为1.2。答：高为1.2m时，容积最大为38.1m。