导数的应用

2013年秋季高三数学第二讲导数的应用（一）一、知识要点1．导数的应用：（1）求函数的单调区间：在某个区间上0)(xf，则)(xfy在这个区间上是增函数在某个区间上0)(xf，则)(xfy在这个区间上是减函数（2）函数的极值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作0yfx极大；（类似定义极小值）可导函数的极值点一定是导数等于0的点，但导数为0的点不一定是极值点；函数的不可导点也可能是极值点.3.求函数单调区间、极值的步骤：（1）确定定义域；（2）求导数yfx，求0fx的所有实根；（3）根据0fx的实根，将定义域划成若干个区间；（4）判断每个区间导数的正负，得出相应区间的单调性、极值.4.函数的最值：求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：（1）求y＝f(x)在(a，b)内的极值，（2）将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．5.“三次函数”图象分析：二、例题分析例1.（1）求函数31443yxx的单调区间、极值；（2）求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值．例2．设函数bxaaxxxf2233231)(（10a）(1)求函数)(xf的单调区间，并求函数)(xf的极大值和极小值；(2)当1[ax，]2a时，不等式axf|)(|恒成立，求a的取值范围.例3．设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2例4．已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间［0,1］上的最大值.三、巩固练习1．函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为()A、f(1)，f(5)B、f(2)，f(5)C、f(1)，f(2)D、f(5)，f(2)2．函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则()A.0b1B.b1C.b0D.b213．设()fx是函数()fx的导函数,()yfx的图象如下左图,则()yfx的图象最有可能的是()4．若函数1)(23mxxxxf是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A．),31(B．)31,(C．),31[D．]31,(5．若函数3()log()afxxax（0a且1a）在1(,0)2内单调递增，则实数a的取值范围是()A．1[,1)4B．3[,1)4C．9(,)4D．9(1,)46．已知抛物线y2=2px(p0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为()A.(0,0)B.(2p,p)C.(pp2,2)D.(pp332,2)7．如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y=f（x）在区间（－3,－21）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－21,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－21时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_________8．若函数32()fxxbxcxd，k是一个常数，当0k或4k时，()0fxk只有一个实根，当04k时，()0fxk有三个不等实根，给出下列命题①()40fx和()0fx有一个相同的实根；②()0fx和()0fx有一个相同的实根；③()30fx的任一实根大于()10fx的任一实根；④()50fx的任一实根大于()20fx的任一实根；其中正确的是9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）=______．10．若函数1)1(2131)(23xaaxxxf在区间（1，4）上是减函数，在区间(6,)上是增函数，求实数a的取值范围.O12yyxy=f/(x)O12yxO12yxO12yxO12yxABCDxy12345-1-2-3O1-2-