导数证明不等式和生活中的优化问题

VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第1页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢1.利用导数证明不等式【例题1】x-)1(2)1ln(222xxxxx，),0(x（相减）【例题2】sinxx2,)2,0(x(相除）【例题3】x-sinxtanx-x,)2,0(xVIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第2页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【练习1】设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.【练习2】设函数f(x)=xaLnx12有两个极值点xxxx2121,,且,（I）求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；（II）证明：f(x)42ln21VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第3页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【例题1】已知xxxxx11ln11),,0(求证(令1+1/x=t)【例题2】已知：11.....31211ln1......3121,2n,nnnnN求证且【练习1】已知f(x)=xlnx,g(x)=223xaxx(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+2]上的最小值;(Ⅲ)对一切的),0(x,2f(x)=g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第4页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢2.生活中的优化问题举例一、情境设计：生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决。二、知识回顾：利用导数求函数极值和最值的方法三.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题；（2）、与物理学有关的最值问题（3）、与利润及其成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题【例题1】一条长为20cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？【例题2】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省hVIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第5页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？【练习1】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小【练习2】某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100人不组团)VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第6页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式y=f(x)并确定函数的定义区间；（2）求f’(x)，解方程f’(x)=0，得出所有实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值综合拓展【例1】某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－0.2x2,且生产xt的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少？【例题2】已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为P=25-q81,求产量q为何值时，利润L最大?VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第7页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【例题3】甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第8页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【例题4】在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？VIP教研组版权所有未经允许请勿外传VIP教育贵族教育专业品质第9页帝豪校区：2042800帝豪大厦六楼608吕厝校区：2042900锦绣广场二楼思北校区：2042700银行家园二楼瑞景校区：2042400牛庄21号楼五楼博物馆校区：2042008海洋花园一楼莲坂校区：2042001富山名仕园三楼集美校区：6224111集美综合楼三楼滨北校区：2042006中闽大厦五楼卧龙校区：2042808太川大楼六楼高二数学——张赢【例题5】用宽为a、长为b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图2），问斜角多大时，槽的流量最大？最大流量是多少？