基于贝叶斯公式的无参考信号Lamb波时间反转损伤识别方法

基于贝叶斯公式的无参考信号Lamb波时间反转损伤识别方法缪傲（武汉大学土木建筑工程学院，武汉430072）摘要现有的主动Lamb波损伤监测大多采用基于参考信号的差信号方法获取损伤散射信号，然后用确定性的方法进行损伤定位，因此在适用性方面受到很大影响。本文引入Lamb波的时间反转过程，提出了一种无参考主动Lamb波损伤识别方法，且考虑损伤识别过程中的不确定性因素，通过贝叶斯公式，推导出损伤位置、波速等未知参数的联合后验概率分布后，利用蒙特卡洛马尔科夫链（MCMC）方法对未知参数进行采样估计，所得到的马尔可夫链的极限分布即为未知参数的后验分布。最后，通过在铝板上的数值仿真结果表明，该方法能够较为准确的识别出损伤的位置、大致范围等特征。关键词损伤监测；时间反转；无参考；贝叶斯；MCMC1前言Lamb波作为一种超声导波，在结构中衰减慢，能够传播较远的距离，并且对结构中的小损伤敏感，所以在结构健康监测领域中的应用越来越广泛。由于损伤会引起结构中传播的Lamb波的散射，故损伤散射信号直接与损伤位置有关。现有的主动Lamb波损伤监测方法大多基于参考信号，即以健康状态响应信号为基准，通过差信号的方法获取损伤散射信号，但真实结构和外界环境的变化对其影响很大，因此在适用性方面受到了很大的影响，且传统的基于损伤散射信号传播时间的损伤定位方法中，例如，脉冲回波法、椭圆定位法、四点圆弧定位法等，把损伤散射信号传播时间、一定频厚积下的波速都作为确定值，但实际的量测误差和损伤定位中不确定性是不可避免的。例如，在损伤识别前，损伤的尺寸、程度是我们所不知道的，损伤对波速变化产生的影响也是不确定的，这将反过来影响通过理论计算所得到得损伤散射信号传播时间，再者，用做激励和传感的压电片的尺寸也没有考虑，这都给损伤的识别带来误差。除此之外，由于Lamb波的频散特性，损伤散射信号波包在传播过程中会发生畸变，从而也会对损伤散射信号传播时间产生影响。在这种情况下，概率的方法在损伤识别过程中能够考虑各种不确定性因素，因此，比用确定性的方法更合适。针对上述的诸多问题，本文首先根据板结构中主动Lamb波时间反转理论，分析了存在单损伤板结构中Lamb波时间反转聚焦过程，提出了Lamb波无基准损伤散射信号传播时间的提取。然后从概率的角度，考虑损伤识别过程中模型本身和量测所存在的不确定性和误差，把利用时间反转所得到的传感器列阵中损伤散射信号传播时间D作为损伤位置、波速等未知参数的样本信息，再结合其先验信息，采用贝叶斯公式，得出未知参数的联合后验概率分布。最后通过MCMC方法，得到单个未知参数的后验分布。2基于贝叶斯方法的时间反转损伤定位2.1单损伤板结构中Lamb波的时反聚焦时间反转法是法国科学家Fink最先由光学应用引入到Lamb波领域中，并开展了大量的理论和实验研究工作。Lamb波的时反是指将感器所接收到的各个模式的信号在时间域上反转后，在传感器上加载，即所接收到的信号先到后发，后到先发，从而实现了各个模式信号在原始激励处的自适应聚焦。已有的对板结构中传播的Lamb波传感信号时反特性研究表明：不管是在单模式还是双模式（S0，A0模式）下，Lamb波的频散都得到了补偿，同一模式经过前向和反向传播后都在主波峰处下聚焦，而在向前、反向的传播时，不同的群速度将会产生相应的的时间延迟，在主波峰旁辨形成旁瓣。为了降低信号处理的复杂度，选择合适中心频率w的窄带信号V，采用双面激励方式，以激发出单模式的Lamb波信号。如图a所示，对于单模式的Lamb波信号，由A传播到B存在两条路径，PZTB所接收到的传感信号为直达波信号1V和损伤散射信号2V。V1V2V12V11V21V21V22如图b所示，将B处的传感信号经时域反转后再次加载在PZTB上，在PZTA处得到的时反重构信号可以表示为：11111221RRRRRVVVVV式（7）中，11RV为B点接收到的直达波信号1BV再次以直接波的方式到达A处，12RV、22RV、21RV的命名规则一样。根据式（5）可得：11**11RVGGV22**22RVGGV21**21RVGGV12**12RVGGV将式（8）带入式（7）可得：******11221221()()()RVGGGGGGGGVGV式（9）中22*11mnmnGGG基于压电片的激励模型，传递函数1G、2G可以简化为由幅值和速度的方程表为：10011(,)eAikrAGar20022(,)eAikrAGar式中：1r为激励信号直线传播至传感器的路径，2r为激励信号经损伤散射后再传播至传感器的路径，0Aa为幅值频散方程，β为散射系数，0Ak为0A模式的波数。考虑到此确定的模型中，传播距离1r2r和窄带激励信号的中心频率为确定值，故式（11）中的幅值项也为确定值，为方便描述，011(,)Aara，022(,)Aara。将式（11）带入式（9），并进行傅立叶反变换，可得时域内的重构信号为：120120()*221212()121()(e2e)eAAikrrRikrritVtVaaaaaad为了获得这个方程的近似解，01212()Akrr，12通过泰勒级数在中心频率处展开得：01212121212()H.O.T()dddd带入角频率、波数0Ak、相速度p和群速度g的关系0Apkv、0gAvdk，上式变为1212120t其中122111()pgrrvv，1221grrtv带入公式（14）、（15），公式（12）可表示为221212121212()()()(())(())RVtaaVTtaaVTttaaVTtt由式（17）可以看出：经过时间反转处理后，重构信号主要由三部分组成，第一部分为聚焦信号的主瓣，与初始激励信号的时反信号形状相同，实现了初始激励信号的重构，Lamb波传播过程中的频散得到了补偿；第二、三部分与主瓣部分有12t的时间延迟，对称的出现在主波峰旁辨形成旁瓣。同时，重构信号主瓣与旁瓣波峰对应的时间差12t正好为损伤散射信号传播时间于直达波传播时间的时间差。在主动监测的传感器列阵中，直达波传感路径已知，故根据时反响应信号主、旁瓣之间的时间差12t就可以确定损伤散射信号的传播时间，因而可以实现无参考信号的损伤定位和识别。贝叶斯分析方法贝叶斯分析方法是基于假设的先验概率、以及把量测所得到的数据作为样本信息而得出的。由于考虑了先验信息和样本信息，故未知参数的不确定性减少。随着工程结构的不确定性等问题中概率方法的发展，贝叶斯方法在结构健康监测中起着越来越重要的作用。在损伤的评价、损伤预测、传感器优化布置、监测系统优化设计等工程上都得到了广泛的研究和应用。与一般确定性的方法给出未知参数的精确解相比，贝叶斯方法的基本理念是把未知参数向量θ的分布看成随机变量联合分布()pθ，然后对每个参数做出在区间范围内的估计。具体为：将时间反转所得的Lamb波损伤散射信号传播时间D作为样本信息，综合未知参数的先验分布，再根据贝叶斯公式，得出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数。对于薄板结构，考虑具有Np条激励——传感路径的压电片列阵，对于第i（i=1,2…）条传感路径的Lamb损伤散射信号传播时间可以示为lamb波从驱动器传播到损伤再到传感器所经历的时间。如图是一个简单的模型用来计算第i条传感路径的Lamb损伤散射信号传播时间。在理论上，第i条传感路径的Lamb损伤散射信号传播时间可以表达为：2222diadiadisdisciggxxyyxxyytVfVf式（18）中,,,ddiaiaxyxy和,iaiaxy分别是第i条分别激励——传感路径中损伤、驱动器、传感器位置的中心坐标，gV是在一定的激励频率f时lamb波损伤散射信号的传播波速。在式（18）中，压电片的尺寸、损伤的范围都没有考虑，材料属性的不确定性也会使实际波速偏离理论值，故在公式1中没有采用特定的频厚积下所对应的Lamb波波速，而是把波速gV也作为一个未知参数用来确定损伤的中心位置,ddxy。因此在该损伤定位方法中，未知参数向量可以表示为,,TddgxyVθ。在下文中，为了方便，用1,2,3kk来表示中的未知参数。在未知参数被确定后，损伤的定位则被转化为从概率的角度来解决确定未知参数分布的问题。假定建模误差和量测的不确定性分别用变量1和2表示，那么第i条激励——传感路径的损伤散射信号的传播时间从概率的角度可以表示为：12mciittθcit是在未知参数向量θ下，利用公式（18）所计算得到的第i条传感路径所对应的损伤散射信号的传播时间。为了简单和方便，通常将1和2假定为平均值为0，标准差分别为12和2的相互独立的正态分布。由式（19）得：12mciiTTθ变量mciiTTθ服从正态分布，参数θ和2的似然函数可以表示为：22222111,exp22NpNpmciiipTTDθθ式（21）中，方差12222，似然函数2,PDθ为在公式1和给定的未知参数向量θ下，对于所测得的损伤散射信号传播时间D的概率分布。为了方便，将公式3中的求和部分记为21,NpmciiiQTTDθθ由贝叶斯公式，根据所测得的TOF值，结合未知参数的先验概率密度函数和使然函数，未知参数的后验概率密度函数可以表示为222,,,()ppppDθθθDD2,pθD是2,θ的联合后验分布函数，2,pθ是2,θ的联合先验分布函数。222(),,ddpppDDθθθ是一个常数，在后验分布中仅起到一个正则化因子的作用。对于每个参数的边缘概率密度函数22222,dd,,ddkkkppppDθDθDθθθ2ddkθ表示参数向量θ中对除k外的其它参数和2做一个多维积分根据所测得的损伤散射信号传播时间，公式7给出了每个变量的边缘分布函数之后，根据后验分布函数，可以得到每个未知参数的后验分布，那么损伤的位置和波速度也就能够确定。但是在实际应用中，由于()pD涉及到多个参数的高维积分，不便于用分析的方法计算，使得贝叶斯方法的应用大为受阻。运用MCMC方法，我们可以从复杂的多维积分分布中采样，从而能够对贝叶斯估计方法进行很好的模拟采样由于在贝叶斯方法中为一个常数，在计算后验分布中仅起到一个正则化因子的作用，如果将去掉，可将贝叶斯公式改写为可将贝叶斯公式改写为222,,,pppθDDθθ其中符号表示左右两边相差一个常数因子式的右边虽然不是正常的概率密度函数，但它确是后验分布的主要部分，故只要式的右边已知，就可以从后验分布中采样，从而避免了计算()pD的问题。MCMC方法蒙特卡洛模拟中，在后验分布中取样，当这些样本独立时，利用大数定律样本均值会收敛到期望值。但在贝叶斯分析领域中，后验分布是复杂的、高维分布，很难得到独立的样本。目前MCMC方法已经成为一种处理复杂统计问题的特别流行的工具，尤其在经常需要复杂的高维积分运算的贝叶斯分析领域，通过合理的定义和实施，MCMC方法总能得到一条具有平稳分布的马尔科夫链，该马尔可夫链的平稳分布就是我们所需要的后验分布。下面给出M-H算法1、构造一个辅助的概率密度函数(1)()nhxx，通常被称为“提议函数”；2、在第n次迭代时，根据(1)nx从提议函数(1)()nhxx中产生一个新状态x；3、计算接受概率(1)(1)(1)(1)()()()min1,()()nnnnxhxxaxxxhxx