基于阻尼振动中能量变化的研究

1论文大赛编号：34安徽师范大学本科生科研论文大赛报名表作品名称：基于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究第一作者：刘吕桥指导老师：周文所在学院：数学与计算机科学学院年级专业：10级数学与应用数学手机号码：[phone]电子信箱：[e-mail]作品分类：哲学社会科学类□自然科学类√2013年2月制2独创性声明本人声明所呈交的论文或调查报告是本人或在有关老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。论文作者签名：刘吕桥日期：2013.04.203参赛作者信息表作品名称基于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究第一作者刘吕桥性别男出生年月1991.10指导教师周文类别√个人作品□集体作品所在学院数学计算机科学学院年级专业10级数学与应用数学学号100701090手机号码[phone]电子信箱[e-mail]作品字数2626合作者情况姓名性别学号所在单位（学院、年级、专业）作品分类□哲学社会科学类√自然科学类作品是否公开发表√未发表□已发表（报名材料中需附期刊,电子期刊附复印件）作品是否受科研项目资助√是项目名称：生化反应系统的随机模拟计算研究项目负责人：周文□否4基于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究刘吕桥（安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000）关键词:阻尼振动；能量；微分方程；matlab摘要：平常学习的质点振动往往是比较理想的无阻尼振动。本文将运用常微分方程[1]的知识结合matlab软件,给出振动过程中有阻尼的情况及有阻尼振动中能量的损失情况的量化指标；并考虑阻尼的大小对摆的振动过程中动能与势能的影响,得出有阻尼振动的过程中不同的阻尼值对振动中的势能与动能及能量损失的曲线图；通过这些图形,可以形象地看出势能与动能的变化趋势。Studyonthechangeofenergyfordamped[4]vibrationbasedonMATLABLiulvqiao,(Collegeofmathematicsandcomputerscience,AnhuiNormalUniversity,AnhuiWuhu241000)Keywords:Dampedvibration；energy；differentialequation；matlabAbstract:Particlevibrationisoftenundampedvibrationwhichisrelativelyideal.UsingtheordinarydifferentialequationandMATLABsoftware,thispapergavethequantitativeindexofdampandenergylossofdampingvibrationinthevibrationprocess.Considertheinfluenceofdamponthekineticenergyandpotentialenergyduringthemotionofpendulum,thecurveofthepotentialenergyandkineticenergyandtheenergylosswithdifferentdampedvibrationvaluesweredescribed.Fromthediagrams,thetrendofpotentialenergyandkineticenergywasseen.1引言有阻尼的质点振动是数学、物理中比较重要的一类运动,也是常微分方程中一个重要的应用,高中学习的主要是简单的阻尼运动,在常微分方程中主要讨论了数学摆阻尼振动过程中摆角与时间的变化情况[1-2],在此基础上本文讨论了数学摆中在摆角较小的情况下有阻尼对摆的动能与势能的影响,以及该过程中能量的损失变化情况。2数学摆的运动方程的推导[1]数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M,在重力的作用下,他在垂直于地面的平面上沿圆周运动,如图1。下面来确定摆的运动方程。设取反时针运动的方向作为计算摆与垂线的夹角的正方向,质点M沿圆周的切线速度v可以表示为t)/(ddlv。作用于质点M的重力mg将摆拉回平衡位置A,将重力mg分解为两个分量MQ和MP,第一个分量沿半径OM方向,它不会引起质点大的速度的数值的改变。第二个分量沿着圆周的切线MP方向,它引起质点大的速度的数值的改变。基金项目：安徽高校省级优秀青年人才基金重点项目(No.2010SQRL0256ZD)作者简介：刘吕桥（1991-)男,本科,主要研究随机过程图1数学摆5由于总是使质点向着平衡位置的方向运动,即当角为正时,摆向减小的方向运动；即当角为负时,摆向增大的方向运动。所以MP的数值为sinmg,因此摆的运动方程是：sinmgdtdvm（1）（1）式为非线性的微分方程,但是这里只研究比较小的情况,即此时sin可以用代替,于是微小振动时摆的方程为022lgdtdm（2）该方程为二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程为：0)(22lg（3）由（3）式得特征根为i1,i-2于是方程（2）的通解为：tsinctcosc(t)21c1,c2为任意常数（4）为了与下文表达一致,（4）式也可以表达为：)t(sin(t)AA,q为与1c,2c有关的常数（5）3有阻尼的运动3.1有阻尼的运动方程[1]在实际情况中,摆总是在一定介质中摆动,沿着摆运动的方向就存在一个与速度v成比例的阻力,设阻力系数为,结合（2）式,则摆的运动方程为：022lgdtdmdtd（6）记nm22lg这里n,为正常数,（2）式可以写为02222dtdndtd（7）其特征方程为：0222n（8）特征根为：221nn222nn对于不同的阻尼值,微分方程有不同形式的解,下面分三种情况讨论：3.2小阻尼的情况[7]（n）：此时,1,2是一对复根,记22n,则方程（7）的通解为：)t)exp(sintcos(c(t)2211ntc（9）可以改写为如下形式6)t)sin(Aexp((t)nt其中A,为任意常数（10）由初始条件0t,0,0ddt得到cossinAsin00AAn（11）解（11）式可得000cotnarc0000cotsinnarcA所以方程（7）的初值解为：)cott)sin(exp(cotsin(t)0000000narcntnarc0t（12）在时刻的速度大小：)cott)sin(exp(cotsin00000001narcntnarcdtdldtdlv（13）不妨以运动的起点M所在的水平面为零势能参考面,为了取得量化指标,当0t时001018,0d0dt,ml1.0,kgm1.0,kgNg/10,0.1且满足n,于是在时间t时刻摆的势能为：）（（14]cos-))cott)sin(exp(cotsin[cos00000000p1narcntnarcmglE代入数值得到:1.5208)))t*sin(10*t).*exp(-0.5*))sin(1.52080.1745)cos((18pi(cos(*1E1P（15）00.511.522.533.544.55-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020时间t/s势能/J势能随时间的变化图7图2势能随时间的变化曲线摆的动能为：20000000k1)]cott)sin(exp(cotsin[21narcntnarcdtdlmE（16）将数据代入得1.5208)+t*sin(10*t).*exp(-1/2*0.0874*(0.1*0.005=Ek121.5208))+t*cos(10*t)*exp(-1/2*1.7472+（17）00.511.522.533.5400.0020.0040.0060.0080.010.0120.014时间t/s动能/J动能随时间的变化图图3动能随时间的变化曲线由（14）、（16）两式相加得系统总能量为：p1k11EEE]cos-))cott)sin(exp(cotsin[cos00000000narcntnarcmgl（20000000)]cott)sin(exp(cotsin[21narcntnarcdtdlm（18）代入数据即有p1k11EEE1.5208)))t*sin(10*t).*exp(-0.5*))sin(1.52080.1745)cos((18pi(cos(*181.5208)+t*sin(10*t).*exp(-1/2*0.0874*(0.1*0.00521.5208))+t*cos(10*t)*exp(-1/2*1.7472+（19）利用matlab软件[6]得到总能量随时间变化的曲线0123456-16-14-12-10-8-6-4-202x10-3时间t/s总能量E/J总能量与时间的关系图图4总能量随时间的变化曲线从图2、图3、图4可以形象地看出,小阻尼运动过程中摆动能与势能的最值随着时间的增加而不断减小,最终动能趋向于0,而势能降到最小,从图像上看,这种减少是非周期的,损失的能量[7]比较平缓,最终趋向于系统的势能,也符合能量守恒定律。3.3大阻尼的情形(nw):此时,021,则方程（7）的通解为：t)(et)exp(c(t)2211xpc其中1c,2c为任意常数（20）由初始条件0t,0,0ddt得到22110210cccc（21）解（21）式得120201c210102c所以方程（7）的初值解为：t)(et)exp((t)221010112020xp0t(22)在时刻的速度大小为：t)(et)exp(2210101120202xpdtdldtdlv(23)位置为：9)cos-t))(et)exp((cos02210101120202xplh（（24）于是在时间t时刻摆的势能大小为：)cos-t))(et)exp((cos02210101120202p2xpmglmghE（（25）只需将1的数据中改为2.5,满足.n,并将数据代入（25）式得)18cos-t))125-5(e180-)125-(-5)t)125-exp((-5180125-50.1(cosp2）（）（（xpE（26）利用matlab软件可以得到p2E随时间的变化情况00.20.40.60.811.21.41.61.82-505101520x10-3时间t/s势能/J势能随时间的变化图图5总能量随时间的变化曲线此时动能的大小为22210101120202k2t))(et)exp(2121xpdtdmlmvE（）（27t))(et)exp(t))((et)exp((22101011202022101021120201xpxpml并将数据代入（26）式得t))125-5(e180-)125-(-5125-5)t)125-exp((-5180125-5)125-((-5k2）（）（）（xpE