导数的应用与微分中值定理证明题专项训练

江苏省数学竞赛专题复习——证明题一.导数与微分：(一)方程根的证明1.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)0,f(1)1,求证f(x)=x在（0，1）内至少有一实根2.设f(x)可导，求证f(x)的两个相异零点之间必有函数)x(f)x(f的一个零点3.设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=132dx)x(f3,试证明：在（0，1）内方程)x(f=0有根4.设)1b(b2x3x)x(f23，试证明方程f(x)=0只有3个实根5.就k的不同取值情况，确定方程x-2sinx=k在开区间（0，2）内根的个数，求证明6.证明方程02xlnex在（0，）内最多有两个实根7.证明方程01xx5只有一个正根。8.证明方程015xx在区间)0,1(内有且只有一个实根.（二）不等式的证明0.用三种方法证明：求证：当1ab时，a+lnbb+lna1.利用函数的单调性证明（1）当]1,21[x时，证明：arctanx-ln（1+2x）2ln4（2）证明：当x0时，2x1x11ex1）（（3）证明：当1x时,x13x2.（4）当2x0时，x2xtanxsin（5）当0x时，xx1211（6）当0x时，2211ln1xxxx（7）当2x0时，3x31xxtan（8）当xee1xx时，（9）当2x0时，3x31xxtan（10）当2xx021时，1212xxxtanxtan（11）试证明：当0x时,2x21x)x1ln(.2.利用函数的最值证明不等式（1）证明：pp1p)x1(x211（1x0，p1）（2）证明：1x)x1(（01,x-1）3.利用凹凸性证明：⑴1n,yx,0y,0x2yxyx21nnn⑵yxe2ee2yxyx⑶yx,0y,0x2yxlnyxylnyxlnx4.利用微分中值定理证明（1）证明当0x时，x)x1ln(x1x（2）设0ab,证明：ab1abalnbln（3）设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内二阶可导，连接点(,()),(,())afabfb的直线和曲线()yfx交于点（,()cfc），acb，证明在(,)ab内至少存在一点，使()0f。（4）证明arcsinarccos(11),2xxx（5）yxyxarctanarctan（6）当bbabalnaba0ba时，（7）设xg,xf在b,a上连续，在b,a内可导，证明b,a在内有一点，使''gagfafabbgagbfaf可能考：铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km，ACAB，为运输需要，要在AB段上选定一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路运费与公路运费之比为3：5，为使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？