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-1-同学六年级奥数个性化辅导教案学生姓名学生年级六年级奥数学科数学教师姓名刘彦甲上课时间18：00—20：00课时数2课时教学目标培养学生用不定方程解决实际问题的能力重点难点不定方程的定义及求解方法比例问题知识精讲：一、知识点概述比例是我们小学阶段所学习的一项相当重要的知识，它与分数、比和除法之间存在着密切的联系，同时又是对我们以前所学习的一些数量之间关系的一次提升。学习和掌握比例的基本性质以及正、反比例的意义及其正、反比例的判断方法，可使在解答一些较复杂的数学问题时，由繁变简，化难为易。二、重点知识归纳及讲解1、正、反比例的意义(1)正比例的意义两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用下面的式子表示：(2)反比例的意义两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以用下面的式子表示：xy=k(一定)2、解答比例问题的一般步骤(1)认真审题，判断题中相关联的两种量是成正比例还是成反比例。属于一般比的问题可考虑常规方法。(2)设未知数x。(3)根据判断列出正比例或反比例的关系式；属于一般比的问题可用按比例分配或列比例式。(4)求出未知数x的值。(5)检验，写答案。3、比例问题的重点在于正确找出两种相关联的量，并明确二者间的比例关系。常见的正、反比例关系列举如下：(1)常见的正比例关系当速度一定时，路程与时间成正比例关系，即当工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例关系，即-2-当单位面积产量一定时，播种面积与总产量成正比例关系，即(2)常见的反比例关系当长方形的面积一定时，它的长和宽成反比例关系，即长×宽=长方形的面积(一定)当总时间一定时，制造零件的个数和制造每个零件所用的时间成反比例关系，即制造每个零件所用的时间×制造零件的个数=总时间(一定)两个互相咬合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例关系，即齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数(一定)三、难点知识剖析例1、甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟25小时开工，结果同时结束。甲、乙两人的工作效率比是5∶2。甲每小时加工多少个零件？解析：根据“甲、乙两人各加工100个零件”可知甲、乙两人的工作总量相同，则工作时间与工作效率成反比例，由“甲、乙两人的工作效率比是5∶2”知甲、乙两人的工作时间比是2∶5，又“甲比乙迟52小时开工”可以求出甲加工100个零件所需的时间，从而求出甲每小时加工零件的个数。解答：因为工作总量一定，所以工作时间与工作效率成反比例。由甲、乙两人的工作效率比是5∶2，得到甲、乙两人的工作时间比是2∶5，甲加工100个零件所需要的时间是25(52)253(小时)甲每小时加工零件的个数：2(52)605(个)答：甲每小时加工60个零件。例2、师、徒两人加工一批零件。由师傅单独做需要15小时，已知徒弟每小时能加工60个零件。现在师、徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的45。这批零件一共有多少个？解析：师、徒两人同时开始加工到完成任务所花的时间相同。因为工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例，所以师、徒的工作效率比是5∶4。根据徒弟的工作效率可以求出师傅的工作效率，由此可以求出这批零件的总个数。解答：因为工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例。师、徒两人的工作效率比是5∶4，师傅每小时生产零件的个数：460755(个)这批零件的总数：75×15=1125(个)答：这批零件一共有1125个。例3、甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲、乙工作效率的比是4∶5，完成任务时，乙比甲多加工120个零件。这批零件一共有多少个？-3-解析：因为甲、乙两人加工零件的时间相同，所以工作总量与工作效率成正比例，已知甲、乙工作效率的比是4∶5，则甲、乙工作总量的比是4∶5，根据“完成任务时乙比甲多加工120个零件”可以解决最后的问题。解答：因为甲、乙两人加工零件的时间相同，所以工作总量与工作效率成正比例。由甲、乙工作效率的比是4∶5，得到甲、乙工作总量的比是4∶5，答：这批零件一共有1080个。例4、甲、乙两个长方体容器，底面积的比是4∶3，甲中水深5厘米，乙中水深2厘米。再往两个容器中注入同样多的水，这时水深恰好相等，甲容器中水面上升几厘米？解析：因为向容器中注入同样多的水，所以两容器中水面上升的高度与底面积成反比例。又知加入等量的水后，两容器中水深相等，即可知甲中水面比乙中水面少上升了(5－2)＝3厘米。这样就可以求出甲容器中水面上升的高度。解答：依题意，甲、乙两容器中水面上升的高度与底面积成反比例，因为甲、乙两容器底面积的比是4∶3，所以甲、乙两容器中水面上升高度的比是3∶4，答：甲容器中水面上升9厘米。例5、甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？解析：对于每一对互相咬合的齿轮，在咬合点通过的总齿数是相等的，而总齿数=齿数×转数，于是两个互相咬合的齿轮，齿数和转数成反比例。根据题意，由甲、乙、丙三个齿轮转数的比，求出它们齿数的比。解答：因为两个互相咬合的齿轮，齿数和转数成反比例。甲、乙、丙三个齿轮转数的比是：5∶4∶6，所以甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是：111::12:15:10546答：甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是12∶15∶10。能力提升例1、客、货两车同时从甲、乙两地相对开出。相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走了27千米，客车仍按原速前进。结果两车同时到达对方的出发站。已知客车一共行了10小时。甲、乙两地相距多少千米？解析：从相遇到两车同时到达对方的出发点，货车和客车所行的路程比是5∶4，因为时间相同，路程与速度成正比例，所以相遇后货车速度与客车速度比为5∶4，即相遇后货车速度是客车速度的54。根据题意，又可知相遇前货车速度是客车速度的45，速度差27千米就相当于客车速度的54()45，由此可以求出客车速度，进而求出甲、乙两地的距离。解答：-4-因为时间相同，路程与速度成正比例，由相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4，则相遇后货车速度与客车速度比为5∶4，相遇前货车速度与客车速度比是4∶5。答：甲、乙两地相距600千米。例2、猎狗发现在离它20米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去.兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间兔却能跑3步，问猎狗追上兔子时共跑了多少米的路程?解析：根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”，路程一定，每步的距离与步数成反比例，可以得到猎狗与兔子每步的距离比；有由“狗跑2步的时间兔却能跑3步”可以得到猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比，最后求出猎狗追上兔子时共跑的路程.解答：根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”得到猎狗与兔子每步的距离比是9∶5，猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比是：(9×2)∶(5×3)=6∶5，故猎狗追上兔子时共跑的路程是：20÷(6－5)×6=120(米)小结：比例问题的基本情况和解答时应该注意以下几点：1、某种数量的两个数值告诉了我们，可以直接求出它们的比，然后根据数量关系，确定另一个数量两个对应数值的比。2、某种数量的两个数值没有告诉我们，但知道它们的具体分率，可以根据分率求出它们的比，然后根据数量关系，确定另一个数量两个对应数值的比。3、应用正、反比例性质解答应用题特别要注意题目中某一数值是否一定，然后再确定是成正比例还是成反比例。演练检测1、甲、乙两人各加工1560个零件，甲比乙迟325小时开工，结果同时结束。甲、乙两人的工作效率比是4∶3。甲每小时加工多少个零件？2、甲、乙两名同学各扎180朵花，甲比乙晚32小时开始，结果同时扎完。甲、乙两同学的工作效率比是4∶3。甲每小时扎多少朵花？3、师、徒两人各加工480个零件，完成任务时所用的时间比是2∶3，已知师傅每小时比徒弟多加工20个，师傅加工这批零件用了多少小时？4、甲、乙两人同时加工一批零件，甲每小时完成这批零件的116，乙每小时做180个零件，现甲、乙两人同时开始加工，完成任务时，乙加工的个数是甲23。这批零件一共有多少个？-5-5、客车和货车同时从A、B两地相对开出。客车每小时行60千米，货车每小时行全程115，相遇时客车所行的路程是货车的54。A、B两地相距多少千米？6、李师傅计划加工1200个零件，实际由于工作效率提高了20%，结果提前1小时完成。李师傅计划每小时加工多少个零件？7、某工程队接受了900千米的修路任务，由于每天比计划少完110，这样就比计划推迟2天完工。计划每天修路多少千米？8、师傅和徒弟共同加工一批零件，完成任务时，师傅比徒弟多加工200个零件。已知师傅、徒弟的工作效率比是7∶5。这批零件一共有多少个？9、甲、乙两人共同加工一批零件，已知甲、乙两人的工作效率比是5∶2，完工时，乙比甲少做了21个。这批零件一共有多少个？10、客、货两车同时从甲、乙两地相对开出。相遇时客、货两车所行路程的比是6∶5，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走了22千米，客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知客车一共行了16小时。甲、乙两地相距多少千米？11、货车的速度是客车的910，两车分别从甲、乙两站同时相向而行，在离两站中点3千米处相遇，相遇后，两车分别用原来的速度继续前进到达乙、甲两站。求当客车到达甲站时，货车离乙站有多远？12、学校体育室足球的个数是篮球的2倍，每个班借3个足球和2个篮球，当篮球正好借完时，足球还剩24个。学校体育室有足球、篮球各多少个？13、甲、乙两堆黄沙，甲堆重量与乙堆重量的比是5∶4，每天从甲堆运出3吨，从乙堆运出4吨，若干天后，乙堆黄沙正好运完，而甲堆还余下16吨。甲、乙两堆黄沙原来各有多少吨？14、甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，齿数比是3∶5∶6，当甲齿轮转10圈时，乙、丙两个齿轮分别转多少圈？-6-15、甲、乙两个圆柱容器，底面积的比是5∶4，甲中水深8厘米，乙中水深5厘米。再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器里水深恰好相等，乙容器中水面上升几厘米？16、A、B两个圆柱容器，底面积的比是2∶3，A中水深4厘米，B中水深6厘米。再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器里水深恰好相等，现在两个容器中水深多少厘米？作业教师课后赏识性评价老师最欣赏的地方老师想知道的事情老师的建议学科组长阅签教研主任阅签学习管理师阅签家长或学生阅签参考答案：1、甲加工时间：342(43)3755(小时)甲每小时加工的个数：4156072005(个)2、甲扎花时间：甲每小时扎花的朵数：3、师傅每小时加工个数：20÷(3－2)×3=60(个)师傅加工零件的时间：480÷60=8(小时)6、计划与实际的效率比：1∶(1＋20%)=5∶6计划与实际的时间比：6∶5计划时间：1÷(6－5)×6=6(小时)计划每小时加工零件的个数：1200÷6=200(个)7、计划与实际的效率比：计划与实际的时间比：9∶10计划时间：2÷(10－9)×9=18(小时)计划每天修路的千米数：900÷18=50(千米)-7-10、相遇前客、货两车的速度比：6∶5，相遇后客、货两车的速度比：5∶6，甲、乙两地距离：11、客、货两车的速度比：10∶9，相遇时客、货两车的路程比：10∶9，12、篮球的个数：足球的个数：48×2=96(个)13、乙堆黄沙的吨数：甲堆黄沙的吨数：14、甲、乙、丙三个齿轮转数的比：则甲转10圈时，乙转6圈，丙转5圈。