基本初等函数的图象与性质(最经典)

1基本初等函数的图象与性质一、一次函数解析式：)0(abaxy：①0a时，直线方向为左下右上（必过第一、三象限）；0a时，直线方向为左上右下（必过第二、四象限）；②b为纵截距，直线与y轴交点为),0(b。例1画出函数12xy与12xy的图象性质：一次函数)0(abaxy)0(abaxy图象0b0b0b0b0b0b定义域值域单调性奇偶性零点函数值变化二、反比例函数解析式：)0(kxky：xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O20k时，双曲线在第一、三象限；0k时，双曲线在第二、四象限。例2画出函数xy1与xy1的图象性质：反比例函数)0(kxky)0(kxky图象定义域值域单调性奇偶性零点函数值变化渐近线三、二次函数解析式：)0(2acbxaxy：①0a时，抛物线开口向上，0a时，抛物线开口向下；xyOxyOxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O3②对称轴方程abx2；③顶点坐标)44,2(2abacab；④与x轴的位置关系：acb42，若0.，抛物线与x轴有两个交点；若0.，抛物线与x轴有一个交点；若0.，抛物线与x轴没有交点；⑤与y轴相交于点),0(c。例3画出函数122xxy与2122xxy的图象性质：二次函数)0(2acbxaxy)0(2acbxaxy图象000000定义域值域单调性奇偶性零点函数值变化xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O4ABCDyOxyOxyOxyOxyOx练习：1.如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为。2.抛物线422xxy的开口方向是；对称轴是；顶点为；3.知函数cbxaxy2的图象如图,那么函数解析式为（）A.322xxyB.322xxyC.322xxyD.322xxy4.已知二次函数772xkxy与x轴有交点，则k的取值范围是.5.关于x的一元二次方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在第_____象限；6.抛物线222kxxy与x轴交点的个数为.7.二次函数cbxaxy2对于x的任何值都恒为负值的条件是.8.若方程02cbxax的两个根是－3和1，那么二次函数cbxaxy2的图象的对称轴是直线.9.二次函数261yxx的单调递增区间是；单调递减区间是；10.已知反比例函数xky的图象如图所示，则二次函数222kxkxy的图象大致为()3o-13yx5四、指数函数解析式：(01)xyaaa且：例4画出函数xy2与xy)21(的图象性质：指数函数)1(aayx)10(aayx图象定义域值域单调性奇偶性零点恒过点函数值变化渐近线特别地，⑴底数互为倒数的两个指数函数xay与xay的图象关于y轴对称；⑵在第一象限（0x），底数a越大，函数xay的图象位置越高，即底大图高；xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234OxyOxyOxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O6在第二象限（0x），底数a越小，函数xay的图象位置越高，即底小图高；练习：1.若指数函数()fx过点(1,3),则(2)f__2.已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．3．函数xxf21)(的定义域是4．当x[−1,1]时，函数f(x)=3x−2的值域为5．若指数函数xay)2(在()，上是减函数，那么a的取值范围是6．在图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝（ab）x的图象只可为（）7．若－1＜x＜0，则不等式中成立的是（）A．5－x＜5x＜0.5xB．5x＜0.5x＜5－xC．5x＜5－x＜0.5xD．0.5x＜5－x＜5x8.函数y＝ax在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）A．6B．1C．3D．239.设f（x）＝x)21(，x∈R，那么f（x）是（）A．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数B．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数C．函数且在（0，＋∞）上是减函数D．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数xyy=a-x(0,1)y=axOxyy=(13)xy=3xy=(12)x(0,1)y=2xO7五、对数函数解析式：log(01)ayxaa且：例5画出函数xy2log与xy21log的图象性质：对数函数)1(logaxya)10(logaxya图象定义域值域单调性奇偶性零点恒过点函数值变化渐近线特别地，xyOxyOxy–1123456789–1–2–31234Oxy–1123456789–1–2–31234O8⑴底数互为倒数的两个对数函数xyalog与xya1log的图象关于x轴对称；⑵在第一象限，底数a越大，函数xyalog的图象位置越靠右，即底大图右；在第四象限，底数a越小，函数xay的图象位置越靠右，即底小图右；⑶指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数；①互为反函数的两个函数的图象关于直线xy对称；②互为反函数的两个函数的定义域和值域相反；③若原函数)(xfy过点),(ba，则其反函数)(1xfy过点),(ab；④单调函数必有反函数。xyy=log1ax(1,0)y=logaxOxyy=log3xy=log13xy=log12x(1,0)y=log2xOxyy=xy=2xy=log2xO9练习：1.对任意不等于1的正数a，函数()logafxx的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是2．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)的值为________．3.设2log3a，2lnb，215c,则,,abc的大小关系是4.设554alog4blogclog25，（3），，则,,abc的大小关系是5．()fx=4,24),1(xxxfx，则2log3f＝6.已知函数2log0()20xxxfxx，若1()2fa，则实数a=7.方程12log1xx的根的个数是8.函数y＝xln(1－x)的定义域为9．在同一坐标系中，表示函数logayx与yxa的图象正确的是（）ABCD10.352log2,log2,log3abc则,,abc的大小关系是10六、幂函数解析式：xy(为常数)例5画出下列函数的图象xy2xy3xy21xy1xy性质：函数xy2xy3xy21xy1xy定义域值域奇偶性单调性公共点xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234Oxy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O11幂函数xy的性质①定义域：qpxxy，qp,为整数且qp,互质：当qp为正有理数时，q为偶数时),0[x，q为奇数时),(x；当qp为负有理数时，q为偶数时),0(x，q为奇数时),0()0,(x；②单调性：（在第一象限内）当0时，xy在),0(上单调递增，若10凸增，1凹增；当0时，xy在),0(上单调递减，③恒过点:当0时，xy恒过点)1,1(),0,0(;当0时，xy恒过点)1,1(.④奇偶性：qpxxy，qp,为整数且qp,互质：若yx奇数或yx奇数奇数，则xy为奇函数；若yx偶数或yx偶数奇数，则xy为偶函数；若yx奇数偶数，则xy为非奇非偶函数；⑤图象间的位置关系：（在第一象限内）图象在直线1x右侧，指数越大位置越高；图象在直线1x左侧，指数越小位置越高；xyy=x-1y=x12y=xy=x3y=x2–1–2–3–4–5–61234567–1–2–3–412345O12练习：1.如图是函数(,,)mnyxmnNmn、互质的图象，则（）A.,1mmnn是奇数且B.,1mmnn是偶数是奇数且C.,1mmnn是偶数是奇数且D.,1mmnn是奇数是偶数且2.给定函数①12yx，②43yx，③|1|yx，④12xy，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④3．幂函数()fx的图象过点4(3,27)，则()fx的解析式是.4.设a∈－1，1，12，3，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,35.若四个幂函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c6.在函数y＝21x，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个