基础物理刚体的转动.

目录5.1刚体转动的描述5.2转动定律5.3转动惯量的计算5.4转动定律的应用5.5角动量守恒5.6转动中的功和能5.7进动第5章刚体的转动RotationofaRigidBody本章作业：2020/1/33一、刚体平动和转动1、刚体定义:在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为刚体；是一种特殊的质点系。特点：刚体上的任两点间的距离始终保持不变。刚体是实际物体的理想模型。刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。特征：刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等。刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。2、刚体的平动5.1刚体转动的描述4刚体上的各个质点绕同一直线做圆周运动。定轴转动：转轴在空间的位置固定不动的转动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：平面运动：也称为滚动。刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。2、刚体的转动6二、刚体定轴转动的角量描述22ddddttt＝ddt＝平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:12规定沿ox轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。)(t角位置：刚体定轴转动的运动学方程。定轴转动只有两个转动方向。SPPrOxyAA7刚体作匀变速转动时，相应公式如下：20002200122()ttt角量与线量的关系：224,,tnsrrarararv线速度与角速度之间的矢量关系为:rv由于在定轴转动中轴的位置不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。,vroSPPrOxyAA8【例5.1】一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变化关系为=(2+4t3)rad，式中t以秒计。试求：1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角为多大时，该质点的加速度与半径成45o。解1）212ddttd24dtt42224.14)12(1.0ttRan0.1242.4taRtts55.0t(舍去t=0和t=-0.55)此时砂轮的角位置：(rad)67.255.042)42(33to)(8.42241.02m/sta)(4.230)212(1.0222m/sna当t=2s时2）加速度与半径成450时有1/45ntaatgtt4.24.144即【例5.2】一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？解：整个过程分为三个阶段①加速阶段111t21110221111122t②匀速阶段212t③制动阶段133t2133221313322t2100321＋＋而20022312111tttsttttt91822200220031113112./)(//)(s.tttt9193321d3cosd2gtLdcos23dLg解：1）棒做变加速运动：例题补充一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1）棒自水平静止开始运动，θ=π/3时,角速度ω?2）此时端点A和中点B的线速度为多大?3cos2gL030dcos23dLggLLg2333sin32Lg2332)rv由得：332AgLLv3328BLgLvddddddtABO5.2刚体的定轴转动定律TheLawofRotationAboutaFixedAxis观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点对外OtLM)(dd轴对外ztLMzziFimΔiv×O定轴刚体irirz,一、对转轴的力矩FrMzFPord刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P，且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢。FrrFFdrFMtsin大小：有两个方向，可用正负表示。MzFPordtFnFrFo0MrFo0M方向：MzFPOrtFnFzF面FM面M1）若力不在转动平面内tteFrM将力分解为径向、横向和沿转轴方向的三个分量。zF产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。0nneFrM2）当有n个力作用于刚体，则nMMMM21对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。3）刚体的内力对转轴的力矩刚体的内力对转轴的力矩的矢量和等于零。2r12f21f12dO1r讨论14二、刚体角动量元角动量[()]iiiRmv质元im①刚体对某点O的角动量②刚体对z轴的角动量()iiimRvioLLiiiiLmRv2iirmizzLL|cos|iLk(||)cosiiimRkv(cos)iiimRkviiimrkvkrrmiii2ziiJmr令刚体对z轴的转动惯量OLiRoiriLizLzzL上式可写为：zzLJ刚体对z轴的角动量15六、刚体的定轴转动定律dd()ddzzzLJMJttzzMJ即，定轴转动定律与牛顿第二定律相比：M~F，J~m，~a注意：1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、M一定：作用不同刚体上，J大时，β小时，转速不宜改变，转动惯性大。反之，J小，转动惯性小。—转动惯量是物体转动惯性大小的量度。二、转动惯量的计算：2iiJmr若质量离散分布：（质点，质点系）mrJd2若质量连续分布：lmddsmddVmdd其中：一、定义：刚体对转轴的转动惯量刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。5.3转动惯量的计算（描述刚体转动惯性大小的物理量）SI单位：kg·m2mrJVd2niiirmJ12【例5.3】求质量为m，半径为R的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。解：设线密度为λ；RlRmRJ2022dd【例5.4】求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。取半径为r宽为dr的细圆环,rrsmd2ddlmddRrrrmrJ0222d2d222mRRR解：设面密度为σ。242121mRRoRmdRorrd【例5.5】求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=λdx。12dd22222mLxxmxJLLC3d202mLxxJLAALBxAC2Lmd2LxxB2）取C点为坐标原点。在距C点为x处取dm。2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。1)刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、转轴的位置三个因素共同决定;xmdxxmxJddd22说明三、平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体对该轴的转动惯量为J，则有：两轴平行；JC为刚体绕质心轴的转动惯量d为两平行轴间距离。2221mdmRJo2mdJJC例均匀圆盘对O轴的转动惯量。221mRJCoCd说明四、垂直轴定理xyzOimixiyir设一薄板，过其上一点作z轴垂直于板面，x、y轴在平板面内，若取一质元⊿mi，则有2iizrmJ)(22iiiyxmyxiiiiJJymxm22yxzJJJ薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的转动惯量。---垂直轴定理1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系（质心系亦可）。2、M一定：作用不同刚体上，J大时，α小时，转速不宜改变，转动惯性大。反之，J小，转动惯性小。—转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。应用时应注意以下问题：①力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。②选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度的正负。Fma类比③当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用隔离法解题。对转动物体应用转动定律建立方程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。zzMJ5.4转动定律的应用【例5.6】质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和滑轮转动的角加速度α。2122(2)mgRmm21222mmgma联合解得：aR1)TRJ)222amTgm关联方程解:对m1分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。2121RmJMJgm2T对m2分析受力。取向下为正方向。R1mTTT2mR1m由转动定律由牛顿运动定律【例5.7】一轻绳跨过定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体,m1＞m2。设滑轮的质量为m，半径为r,忽略摩擦。绳与滑轮之间无相对滑动。求物体的加速度。解：由于m1＞m2，则m1向下加速运动，m2向上加速运动，滑轮逆时针转动。规定物体运动方向为正方向。对m1、m2分析受力。由牛顿第二定律：1m1Tgm11a2mgm22T2a11111:amTgmm22222:amgmTm对滑轮分析力矩；由转动定律：2mm1m22121mrJrTrTm2T1T关联方程raa212211TTTT联立解得gmmmmmaa)(2)(2212121【例5.8】一刚体由长为l，质量为m的均匀细杆和质量为m的小球组成，且可绕O轴在竖直平面内转动，且轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴O的转动惯量。2）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度。Omgm2223431mlmlmlJ解1）2mlJ球231mlJ杆2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成θ角时，合外力矩:sin23mglMMM杆球gmsinmglM球sin2lmgM杆ddddddddtt又dd8sin9lg分离变量积分得:02dd8sin9lglgcos23小球的法向加速度：cos492glan9sin8MgJl得：由转动定律:MJ26补充：如图所示m1m2试由牛顿定律和转动定律写出系统的运动方程，求出m2的加速度和张力T1,T2,T31m2m1T2T3T1M2M1R2R解：设m2的加速度为a，方向向上，则m1的加速度也为a，方向向下，滑轮与绳不打滑，则滑轮与绳的加速度为：1212aaRR①:1111mmgTma对②:2222mTmgma对③M:()211311111TTRMR2对④:()223222221MTTRMR2对⑤11311a1TTMaR2对④：⑥23222a1TTMaR2对⑤：⑦27②③⑥⑦两端相加：()1212122mmga2mmMM（）()()1211211112124mmmMMTmgmag2mmMM()3221TmgaMa2本题中123TTT当M1,M2质量可以忽略时T1=T2=T3222Tmgma5.5刚体的角动量定理角动量守恒定律ddzzLMt作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。1221