塑性力学02-屈服条件.

塑性力学02第二章屈服条件•第一章介绍的是应力和应变的概念,接下来就应该介绍应力应变的关系.在弹性力学中,应力应变是线性关系,是一一对应的比较简单关系,但在塑性力学中,没有这种简单的关系.第一章曾经指出材料在屈服以后要有不能恢复的塑性变形.问题就出在这个地方,那么材料在什么时候屈服,屈服以后又服从什么规则.这就是这一章和下一章要解决的问题.•这一章研究材料的屈服.我们已经知道,对于单向拉伸情况比较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线,应力应变关系是一目了然.但对于复杂应力状态,材料在什么情况下屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件就是解决这个问题的.•这一章我们先从简单拉伸谈起,目的是从单向应力应变关系中得到启发来解决复杂应力状态情况下的问题.•下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.2-1简单拉伸时的塑性现象ABCDLDDAOOpesssbpe1tanE强度极限屈服极限弹性极限比例极限初始屈服点初始弹性阶段应变硬化硬化阶段开始颈缩应变软化OA不加区别sDO卸载peOD加载,D点开始后继屈服,成为后继屈服点反向屈服点ss被称为Bauschinger效应sDD后继弹性阶段,服从增量Hooke定律E服从E•塑性变形规律的几个重要特点(1)要有一个判别材料是否处于弹性阶段还是塑性阶段的判断式,即屈服条件:初始屈服条件和后继屈服条件(2)应力应变是非线性关系(3)应力应变之间不存在单值关系ss•塑性力学考虑的材料的简化的应力应变关系有理想弹塑性体理想刚塑性体线性硬化弹塑性体线性硬化刚塑性体ssssoooo2-2初始屈服条件和屈服曲面•初始屈服条件.对于单向拉伸时拉伸应力等于材料的屈服应力时开始屈服,但是在一般情况下一点的应力状态时六个应力分量,我们不能简单地说哪一个分量达到屈服应力,这一点开始屈服.但有一点可以肯定,屈服条件应该和这六个分量有关,把它写成函数关系,该函数就称为初始屈服条件.我们已经知道,静水应力不引起塑性变形,那么屈服条件只和应力偏量有关,屈服条件可以写为我们又知道,材料的本构行为应该与坐标变换无关,那么屈服准则就必然仅仅依赖于偏应力中的不变量,即0ijf0ijfS23,0fII•这个初始屈服条件在应力空间表示为一个曲面被称为初始屈服曲面,在平面上是一条曲线被称为初始屈服曲线.下面来进一步分析它们的一般形状.(1)我们知道偏应力向量是在平面上,并且因此在平面上屈服条件表示为一条包围原点的封闭曲线.1230SSS123o123()L这条曲线如图所示的红色曲线.如果一个应力状态在这条曲线上,表示这个应力状态满足屈服条件.现在在这个应力状态上再加上一个静水压力,这时在三维主应力空间中,它相当于沿直线L的平行线上移动,而应力点仍应满足屈服条件,因而在三维主应力空间中,屈服面是一个等截面柱体,它的母线与L直线平行(图中深黄色线).(2)现在我们来进一步研究在平面上的屈服曲线.首先因为材料是均匀各向同性的,则互换时也会屈服,所以这条屈服曲线应对称于直线1,2,3.另外可以假设拉伸和压缩时的屈服极限相等(没有Bauschinger效应),因此当应力符号改变时,屈服条件仍不变.这就是说,这条屈服曲线应关于原点对称.123,,112233又考虑到这条屈服曲线对称于直线1,2,3,所以它要对称于直线1,2,3的三条垂线4,5,6.总之,它有六条对称线,.因此,我们只需用实验确定平面上30度范围的屈服曲线,然后利用对称性,就可以确定整个屈服曲线.445566•在前一章知道:在纯拉屈服时,123,0,1,30s它对应平面的A点.在纯剪切屈服时123,0,,0,0ss它对应平面的B点.AB30p这样AB之间的屈服曲线可以通过双向应力实验来决定.例如可以通过薄壁圆筒同时受拉和扭作用来得到.于是通过对称性就得到整个屈服曲线.xyo2-3Tresca条件和Mises条件.这是两个常用的屈服条件.1.Tresca屈服条件(1864).基于实验观测,Tresca假设材料在某处出现屈服是由于该点的最大剪应力达到最大许可值,或者说达到单轴加载下的弹性极限值.在多轴应力状态下,按照Tresca的论点,屈服条件可以写为其中(单向时屈服应力).max/2ksk当已知可以写成为在一般情况下,不知主应力的排序,可以写成13()sk123122331max,,k在平面上,Tresca屈服条件是一个正六边形,这一点可以证明.在前面我们知道偏应力矢在平面上的X轴的投影为1322.22xkconst所以在范围内这是一条直线,将其对称开拓成正六边形(如下图).在主应力空间屈服面是正六面柱体.3030123yx1322.22xkconst3030o3030图中红色就是Tresca条件.2.Mises屈服条件(1913).Tresca条件不考虑中间应力的影响;另外当应力处在两个屈服面的交线上时,数学处理有些困难;在主应力方向不知时,屈服条件又很复杂,因此Mises在1913年提出了用外接圆柱体来代替正六面柱体的想法.根据这个想法屈服曲线就是六边形的外接圆,方程为:22223xyk23rk整理得22221223312k222222262xyyzzxxyyzzxk从上面的第一式我们可以看到屈服条件的另一种表达式是应力强度等于,即.也就是说应力强度达到一定值时,材料开始进入塑性状态.kik•刚才说了,Misese条件一开始是个设想,后来发现它比Tresca条件更接近于实验得出的结果.实际上,根据弹性理论,形状比能为22212233116dWE这样就有213dWkE它可以解释为材料的形状比能达到某一极限值时,材料开始屈服.(3)讨论这两个屈服条件:a)常数的确定.因为这些屈服条件对各种一般都适用,所以可以通过简单拉伸或纯剪切等实验来确定.k对于简单拉伸来说,这两个屈服条件都有1sk对于纯剪切来说,Tresca条件有,进而Mises条件有,进而2Sk3Sk0.5SS0.577SS实验表明,对于一般工程材料,,因此Mises条件比Tresca条件更接近实际.但如果事先知道主应力的大小,用Tresca条件比较方便.0.560.6SSb)简单说明两个条件的差别.设取,那么123SkTresca条件有:131SMises条件有:13223S考虑到,所以0111.15也就是说这两个条件事实上差别不大.如果取内接圆作为屈服曲线,则差别更小.•这两个条件主要适用于延性金属材料.而用于土壤,混凝土和岩石等非金属是不理想的.因为它们忽略了平均应力的影响.[例2-1]平面应力状态的屈服条件.[解]因为对平面应力状态,.此时Tresca条件为1213,0,0s()sk它表示在平面上的屈服曲线为一个六边形(如图深黄色所示).301221ssssoMises条件为:2221122s它表示在平面上的屈服曲线为上述六边形的外接椭圆(如图红色所示).12[例2-2]试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下的屈服条件.zzxyzPPTToxzyzzyzx[解]杆内的各点的应力为0xyxyyx其它不为零.•将这些代入Mises条件得到22223zzxzys•由第一章已知应力状态求主应力的方法得到主应力为:12223142zzzxzy20得max13/2根据Tresca条件有:22224zzxzys[例2-3]一内半径为,外半径为的球形壳,在其内表面上作用均匀的压力.试写出其屈服条件.abqqxyzor[解]由于壳体几何形状和受力都是对称于球心,是球对称问题.这样壳体内剪应力分量必为零,否则就不是球对称了.各点只有正应力分量,并且有主应力排序为0,0r最大剪应力为max12r代入Tresca和Mises条件发现它们有一样的屈服条件:rsr2-4Tresca条件和Mises条件的实验验证前面已经提到这两个屈服条件是建立在假设基础上的,需要通过实验来验证.这里介绍两个有名的实验.1.Lode实验1926年W.Lode在软钢,铜和镍的薄壁筒上做实验,薄壁筒受轴向力和内压的作用.PpTresca条件有:131SMises条件有:13223STresca条件Mises条件01113S1.001.15应力状态为:1prt222zprPtrt30r2Prp实验表明Mises条件较符合.2.Taylor和Quinney实验1931年他们做薄壁筒的拉扭联合实验.xxxyxy拉力为,扭矩为,这是平面应力问题.应力状态见图.有PT222xxyPTrtrt主应力为212324xxxy20按Tresca条件有:2224xxys即2224xxys按Mises条件有:2223xxysxysxsMises条件Tresca条件0软钢钢Mises条件比较好.2-5后继屈服条件及加,卸载准则1.后继屈服条件的概念•从单向应力谈起,如图所示我们曾经提到过初始屈服点和后继屈服点的概念.•对应于复杂应力,就有初始屈服面(比如我们前面提到的屈服条件)和后继屈服面.后继屈服点初始屈服点oOABC021初始屈服面后继屈服面如右图所示,一点应力状态O,随加载达到初始屈服面A点,再加载到达后继屈服面B点,此时卸载再加载再到达后继屈服面C点,然后再加载到达后继屈服面D点.0112•很显然,对于硬化材料,后继屈服面是不断变化的.所以后继屈服面又称为硬化面或加载面,它是后继弹性阶段的界限面.确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件或称硬化条件.表示这个条件的函数关系称为后继屈服函数或硬化函数,或加载函数.后继屈服不仅和当时的应力状态有关,而且和塑性变形的大小及历史(即加载路径)有关,表示为,0ijfK其中称为硬化参数,表示塑性变形的大小及历史.后继屈服面就是以为硬化参数的一族曲面,我们要研究后继屈服面的形状以及随塑性变形的发展的变化规律.KK对于理想塑性材料后继屈服面是不变化的,与初始屈服面重合.2.加,卸载准则对于复杂应力状态,六个应力分量都可增可减,如何判别加载和卸载,有必要提出一些准则.(1)理想塑性材料的加载和卸载准则.理论塑性材料是无硬化的,屈服条件与加载历史无关,,初始屈服面和后继屈服面是重合的.即0ijf0f屈服面0ijfn法线方向ijdijd0df0df加载卸载f的梯度方向如图所示0f弹性状态;0,0ijijffdfd加载;0,0ijijffdfd卸载.(2)硬化材料的加,卸载准则.ijdijdijd中性变载21加载卸载后继屈服面对于硬化材料,后继屈服面和初始屈服面不同,与塑性变形的大小和历史有关.,0ijfKn加,卸载准则为:0,00,00,0ijijijijijijffdfdffdfdffdfd加载