塑性力学第2章-理想弹塑性材料的三杆桁架问题

塑性力学第二章结构塑性性态的基本特征武汉理工大学理学院工程结构与力学系2.1理想弹塑性材料的三杆桁架问题2.2线性强化弹塑性材料的三杆桁架2.3几何大变形对桁架承载能力的影响2.4加载路径对于桁架内应力和应变的影响2.5载荷平面内的屈服曲线和极限曲线（a）理想弹性（b）理想刚塑性（c）理想弹塑性（d）刚-线性强化（e）弹-线性强化常用的理想化模型2.1理想弹塑性材料的三杆桁架问题2.1理想弹塑性材料的三杆桁架问题13NN132cos45NNNF131202/FAF12312320111022lll212三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长度为l0，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则:此时,对应的外载为:弹性极限载荷(一)弹性阶段20el10201*222*22FAFA1122EE2121202/FA21221随着F的增大,第二根杆先达到屈服状态:eF202*22YFA01(1)2eYFA20/lE0/YlE(二)约束塑性阶段2Y131320()/2/FA当时,第二杆已经进入塑性变形,但是1和3杆仍然为弹性.eFF10()/2YFAYF123三根杆中有一根进入塑性后，三杆桁架变成静定的了。(三)塑性流动阶段称为塑性极限。00(12)2/YYYYFAlE001(1)2/eYeYFAlE弹性极限：/22YeYeFF随着F的继续增大，最终使得第1和3杆也达到屈服。13YF1230(12)YYFA02/YYlE此时对应的外载为：YFYF塑性极限：00(12)2/YYYYFAlE001(1)2/eYeYFAlE弹性极限：/22YeYeFFeFFeYFFFYFF弹性阶段约束塑性阶段塑性流动阶段eFYF（四）卸载2YeFF1122//EE卸载服从弹性规律。Y若加载到后卸载，应力的变化应该按弹性状态的变化规律.*eYFFF10201*222*22FAFA01(1)2eYFA202*22FA0202*22112eYFAFA12/2残余应力*01*02(1)/20(1)0YeYeFFFF若将全部卸除:*F*2YYeeFFFF12/2*FF2Y10()/2YFA残余应变*01(1)/20YeFF0*011(1)/20YeFEFE*0001111002(1)0YeFlllFE*00122(1)0eeFF002120杆1中的残余应力为因为,杆1仍然为弹性,其卸载也为弹性,则:*eYFFF杆1的位移:桁架的位移:在低碳钢的拉伸试验中,经过屈服阶段卸载后的残余应变就是塑性应变;而对本章中的静不定结构并非如此,杆1中的残余应变为弹性应变.重复加载若在卸载完毕后再重复加载,由于从卸载到零的过程是弹性的,从零再加载到仍然是弹性过程.*F*F02002Y初始状态:杆2的弹性范围整个桁架结构的弹性范围也扩大了因此,在结构内部产生某种有利的残余应力状态可以扩大结构的弹性范围。如工程中的预应力法等。此外，本节中的材料为理想弹塑性材料，没有强化效应，卸载后能出现弹性范围扩大效应，是挖掘结构的承载能力。卸载后重复加载扩大弹性范围所挖掘出来的是结构的承载能力，而不是材料的承载能力。2.2线性强化弹塑性材料的三杆桁架2.2线性强化弹塑性材料的三杆桁架jjYjYYpjjYEEE当当三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长度为l0，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则:假设材料是弹-线性强化的强化模量是EpjjYjYYpjjYEEE当当eFF（1）当时，桁架处于弹性阶段，上一节中得到的结果仍然适用。（2）当时，杆2进入塑性强化阶段。22YYpEEeFF11E杆1仍然为弹性：1202/FA212p01p1122YEFAEEEpp02p1/212YEEFEAEEE（3）当F进一步增大，杆1也进入塑性：1Y3Y1YE2122YE22YYpEEYYpEE021pYEAE1210202NN2FAA此时的外载为：0(12)YYFA021pYEFAE0(12)YYFA1.041YFF0.1pEE1121pYEFFE外载比较分析：线性强化弹塑性:理想弹塑性:当由此可见,考虑材料强化所得到的F与理想弹塑性桁架的塑性极限载荷差别不大.线性强化材料进入塑性后应力仍然随应变增长,F并不是承载极限;而理想弹塑性材料进入塑性流动后不能继续承载.2.3几何大变形对桁架承载能力的影响1230/l22100lll2001lll前面章节采用了以下假定：（1）小变形的假定（2）平衡方程建立在结构的初始几何上（3）杆截面不发生变化实际上：201212l211011ln/2ln(1)22ll220ln/ln(1)ll1,2,3jYPjjE21001012//12AAllA220/1AlA杆的对数应变：大变形的情况下，可将弹性变形忽略，采用刚-线性强化材料模型。Y塑性变形体积不变,则:变形后,杆1与杆2的夹角为:2211cos/1/212ll在变形后的结构上建立平衡方程:11222cosFAA11222cosYPYPFAEAE2002211ln1211ln(1)2111112122YPFAAE2002211ln1211ln(1)2111112122YPFAAE当时，虽然有材料强化和变小两个因素使桁架在较小时力F提高，但随着杆件截面积缩小，值随着的增大而减小，变成不稳定结构。当时也有类似的变化趋势。/1PYEF/8PYE小结：几何大变形对结构承载能力可能产生重要的影响。一旦结构进入塑性流动阶段（理想弹塑性材料）或者自由塑性变形阶段（强化材料），几何大变形对于结构的弹塑性来说，一般不可忽略，甚至是一个起决定性作用的因素。2.4加载路径对于桁架内应力和应变的影响yFxQ弹性状态下：应力应变满足线性关系，可以叠加，因此不受加载路径的影响。区别：弹塑性状态下：应力应变是非线性关系，而且有加载卸载的区别，应力应变不是一一对应的关系，不同的变形路径得到不同的结果。考虑：节点同时受水平力Q和竖直力F作用2.4加载路径对于桁架内应力和应变的影响yFxQ(1)(1)(2)ABQF（1）非比例加载（2）比例加载先施加F至极限载荷，同时保持Q=0；保持竖直位移不变的情况下，Q逐步增大，至新的塑性状态。YFQ和F同时加载，整个过程，直至（1）的塑性状态。:1:2FQ（1）非比例加载0(12)YYFA从O到A点123Y02/0yYYxlEyFxQ(1)(1)ABQFYF0极限载荷:杆内应力:节点位移:2130130()2()2FAQA0302012)(2)(lllxyyxy312应力关系应变关系当保持竖直位移不变情况下,增加Q,此时F将有相应的改变.用和表示F和Q的改变量.FQyFxQ说明:第1杆继续伸长，第2杆长度不变，第3杆卸载02003321lEEx03032020FAQAFQ2从A到B点(施加Q)10()20yxl0y0xx保持竖直位移不变,故:施加Q,故:200yl30()20yxlY2130130()2()2FAQAFQB点状态施加Q后的变形过程:第1杆继续伸长，第2杆长度不变，第3杆卸载当,使时,第3杆进入反向(压缩)屈服,整个桁架再次进入塑性流动屈服，Q停止增加，此时外载为:32Y3YN11N2QF123YYN1N1N13N3N3N32N2N2N20xF13cos45cos450NNQ0YF123cos45cos450NNNF002YYQAFAYYE0xF13cos45cos450NNQ0YF123cos45cos450NNNF10YNA20YNA30YNA02/yYYlE33020xEEl32Y04/2xYYlE1233,2,YYY(2)比例加载:1:2FQ(1)(1)(2)ABQFYF02130130()2()2FAFA213从零开始加载,在弹性范围内:213102(2)0212FA202*012FA302(2)0212FA三者之中最大,随着外载增大,杆1先进入塑性状态.1102(2)212FA20222*12232eYFA302222212232eYFA1Y当时，由0212232eYFA1Y2232yY212232xY继续加载2030(12)2FAFA杆1进入塑性状态.102QF当222eY02232YFA0eYFFFA022YYQFAQ2222232eYY123YYB点状态232yYxY1232,,YYY02/YYYYElE比例加载非比例加载123,23,2,yYxYYYY1232,322,,yYxYYYY002YYQAFA比例加载和非比例加载相同点:2.5载荷平面内的屈服曲线和极限曲线(1)(1)(2)ABQFYF0载荷空间:以结构上作用的各独立外载作为坐标轴形成的空间载荷平面内的屈服曲线1012(2)212FQA202*12FA3012(2)212FQA载荷空间内的一点载荷空间内的一组曲线1Y2Y3Y当各杆中的应力分别满足上式,则桁架处于弹性状态.而上式中有任何一个取等号时,桁架就开始屈服.初始弹性极限曲线:桁架初始弹性范围的边界0012(2)1212YYFQAA02*112YFA0012(2)1212YYFQAA极限曲线对于理想弹塑性材料的三杆桁架,当三根杆中有两根达到屈服,桁架就会变成机构,在外载不变的情况下发生无限制的塑性流动.12Y(1)当由平衡方程可得:213013