搜索
声学基础（南京大学出版社）习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。12MmKm解：由公式fo得：Km(2f)m21-2设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：f021g，g为重力加速度）l图习题1－2解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sinl受力分析可得：FMmgsinMmgl（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：FMmd2dt2则MmdMmgl2即d20,gdt2dt2lgl即f012πg,02这就是小球产生的振动频率。l1-3有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样图习题1-3表示？(2)当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对Mm进行受力分析，见右图，lx0x0FxTT02(lx0)22x20（x0，x022x02,(lx0)22(lx0)2。）FyTT(lx0)22x202lx0Tx0TTlx0(lx0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量MMm，弹性系数Tlkx0(lx0)。Tl（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为Fx0(lx0)，方向为竖直向下。（2）振动频率为KTlx0(lx0)Mm。M（3）对分析可得，当x0l时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置0的振动位移很小，满足0条件。图习题1－42TcosMg4Mgcos解：如右图所示，受力分析可得001ll22T0Md2又0，T'T，可得振动方程为ldt22Md24T4T0ll即dt2f214Tl120M20Mg1gM1-5有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移acos(0t)，速度表达式为v0asin(0t)。由于t00，vt00，代入上面两式计算可得：0cos0t；v00sin0t。振动能量E1Mmv1Mm022。a22a21-6有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为。d220K则质点自由振动方程为20,（其中02mm,）dtM解得acos(0t0),vddt0asin(0t0)0acos(0t0)21000v02220acos0a当t00，vt0v0时，v0acos(0)v0000arctan02质点振动位移为100v02cos(0tarctanv000)220v0)质点振动速度为v0220v02cos(tarctan0002质点振动的能量为E1Mmv1Mm(00v0)22222a21-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加sint1sin2t，试问：2(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解：sint1sin2t，2dcostcos2tdtd2sint222sin2t。dt2令ddt0，得：t2k或t2k，3经检验后得：t2k3时，位移最大。令d0，得：tk或t2karccos(1)，2dt24经检验后得：t2k时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示1cos(t1)2cos(t2)acos(t)试证明212cos(21)，arctan11csoins12sin2其中a122212cos2证明：1cos(t1)2cos(t2)1costcos11sintsin12costcos22sintsin2cost(1cos12cos2)sint(1sin12sin2)设A1cos12cos2，B(1sin12sin2)则AcostBsint=A2B2cos(t)（其中arctan(B)）A又A2B2111122cos21212212(cos1cos2sin1sin2)212cos(21)2cos22212cos1cos22sin22sin22212sin1sin222222又arctan(B)arctan(1cos12cos21sin12sin2)A令aAB12212cos(21)2222则acos(t)1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示1cosw1t2cosw2t(w2w1)试证明acos(w1t)，sin(wt)其中a1222212cos(wt),arctan122cos(wt),ww1w2.解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，a1222212cos(w2tw1t)1222212cos(wt)其中，ww2w1。由三角形面积知，112sinwt11asin22sin2sinwt得a2sinwt2sin2sinwt得tga222wt(12coswt)2sinwt12coswt2sinwt12coswt2故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mg＝Kmξ1Km＝mg/ξ112MmKm由质点振动系统固有频率的表达式f0得，KmmgMm4f024.122f02纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。12MmKm解：由由f0得Km(2f0)Mm21Kmf0(2f)2(Mmm,)得Km02Mmm22，Km42mf02f02f02f02mf0联立两式，求得Mmf02f01-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图1-2-3图1-2-4解：串接时，动力学方程为MmKd2K1mK2m1mK2m0，等效弹性系数为dt2KKKK1mK2m。1m2m并接时，动力学方程为Mm(K1mK2m)0，等效弹性系数为d2dt2KK1mK2m。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g9.8ms2，月球表面的重力加速度为g由虎克定律知FMKx,又FMMg则KMg1g10gx0.1T22MK1则M104g2109.82.5kg420xx1则x0.04m又0.4MgKx则gKx420.041.58ms2M故月球表面的重力加速度约为1.58ms，而该岩石的实际质量约为2.5kg。21-14试求证acostacos(t)acos(t2)acos(t(n1))sinn(n1)2asin2cost2aejtaej(t)aej(t2)aej(t(n1))证aejt(1ej)1ejn1ejjt1cosnjsinnaeaejt1cosjsin2nsinnsinnjcosn2sinjsinnaejt2222aejtsinsinjcos2sin22jsin222sinnsinnsinnj(n)jn1n1e222ea2e2j(t)aejtaejt22sin2j(sinsin1)e2222同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0，(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？12MmKm解：固有频率fo。f0Km4（1）f02Km，故应该另外串接三根相同的弹簧；Mm2Mm（2）Km2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。f0f01-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为f01Km2πMm。1-17原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε所以Km＝0.2×9.8/0.04=49N/me1/e1Rm2Mm故Rm1Ns/m124911.57Hz2w0'w0f0'0.5（2）系统所具有的能量E1Km1490.040.0392J2222（3）平均能量E12Km02e2t5.31103J1-18试求当力学品质因素Qm0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0，vv0，试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：d2dt2RmdtdK0MmmRm2Mm进一步可转化为，设，d22d20dt2dt设：eit于是方程可化为：(02j22)ejt00解得：j(22)e(202)t方程一般解可写成：et(Ae202tBe22t)0存在初始条件：t00，vt0v0代入方程计算得：v0v0A，B22022202202t22t)0解的结果为：et(AeBev0v0其中A，B。220222021-19有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为K，质量抗为MMM已知f050Hz，f300Hz20242f022(50)2(300)21则(K)(MM)＝12KMMMM42f361-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？12MmMs/320.40.3/3Km1150解：(1)考虑弹簧的质量，f02.76Hz.(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms/3.Rm520.5'5，f'121150022522.64Hz.20.40.3/32Mm0(3)品质因素Qm'Mm16.580.51.66，0Rm512Qm2位移共振频率：frf0'12.39Hz.(4)速度共振频率：frf0'2.64Hz，12Qm2加速度共振频率：frQmf0'12.92Hz.1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于解：系统每个周期损耗的能量2。QmEWFT1RmvT2a21Rmva212Mmva22TEERmfMm，发生速度共振时，ff0。Rmf0Mm2