复习复变函数与积分变换

复变函数与积分变换[e-mail]成绩构成与答疑•平时测验（20%）•考勤（10%）•作业（10%）•期末考试（60%）•答疑安排2015.01.18contents412356复数与复变函数解析函数复变函数的积分级数留数Fourier与Laplace变换412356第一章复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续第一章复数与复变函数一、复数与复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P复数z=x+iyxyz=x+iyO实轴、虚轴、复平面Z平面、w平面第一章复数与复变函数二、复数的几种表示法xyO21zz1z2z1.几何表示：平面上一矢量与一复数构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。加法运算xyO21zz1z2z2z减法运算第一章复数与复变函数2.三角与指数表示cossinxryr22arctanrxyyx三角式：cossinzriirez指数示：利用极坐标标示复数zrzArgz——复数的模，——复数的辐角),2,1,0k(k2)zarg()z(Arg0z时，第一章复数与复变函数注意：1)复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。幅角主值2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。arg()z-第一章复数与复变函数三、复数的运算1、相等——2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式zxiyzxiy3、共轭)Re(22zxzz),Im(22ziyizz222)][Im()][Re(||zzzzzzzyxoyyx212121,yyxxzz第一章复数与复变函数4、复数的n次方根1(cossin),22(cossin)(0,1,1)nnzrikkwzrinnkn若则wnr0k的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周n0w称为主值。310:Examplez第一章复数与复变函数四、区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。五、复变函数的概念1、定义单值函数多值函数2、分类——3、复变函数()wfz与实函数的关系),(),,()(),(),(yxvvyxuuzfwvuyxwzff第一章复数与复变函数讨论一个复变函数()wfz研究两个实二元函数),(),(yxvyxuu2zwayx22bxy2aubvExample:222,2wzuxyvxy2||||,arg()2arg()wzwz分析：第一章复数与复变函数0lim()zzfzAaib00lim(,)xxyyuxya00lim(,)xxyyvxyb2、存在判别法转化为实函数极限存在性判别六、复变函数的极限几何意义)(zf1.复变函数的极限的定义注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。第一章复数与复变函数00001(1)()(2)lim()(3)lim()()zzzzfzfzfzfz、定义:存在；存在；两值相等，即0002()(,)(,)(),fzzuxyvxyxy在点连续实、、存在判别法--转化为实函数的连续性虚部函数、均在点处连续。七、复变函数的连续性第一章复数与复变函数arg()zEX1:试证在原点和负实轴上不连续。000000zzarg(0),arg()0limarg(),limarg()limarg(z),arg()zzzzwzzzzyzzzyzzz证明无意义在点不连续；对负实轴上任一点当沿平行于轴正向趋于时,而当沿平行于轴负向趋于时不存在函数在负实轴上不连续。第一章复数与复变函数Ex2:若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。证明：1231zzzz1，z2，z3位于单位圆上0321zzz,321zzz13321zzzz))((12121221zzzzzz122122212121||||))((zzzzzzzzzz11221zzzz第一章复数与复变函数))((2121221zzzzzz12212221||||zzzzzz3)1(2321zz同理.31332zzzz123解析函数概念解析函数的充要条件初等函数第二章解析函数12D思考函数在一点可导与解析有何不同在区域内呢判别函数可导与解析有哪些方法指数函数了解相关函数定义和性质对数函数幂函数第二章解析函数可微可导连续有定义极限存在一、解析函数的概念1()()fzDDfzD、定义若在区域内每一点都解析时，简称它在区域内解析或称是的一个解析函数（全纯函数或正则函数）3、函数解析与可导的关系区别——概念不同联系——解析点必是可导点，反之不然。2()fz、奇点－－的非解析点()()fzDfzD在某区域内处处可导在区域内解析。第二章解析函数4、求导举例00()()Im()Im()()limlimzzfzzfzzzzfzzz00limlimzzyyyyzxiy∵解当时，0(0,0)zxy0lim0zyxiy()Im()fzz例讨论函数的可导性∴不存在，即处处不可导。0limzyxiy01lim0zyxiyi当时，0(0,0)zxy第二章解析函数二、解析函数的C-R条件0000()(,)(,)1)(,)(,)fzuxyivxyzuxyvxyzxiy函数在点1.定理(充要)：可导和在点可微；,xyyxuvuvCR2)满足方程00000000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()||||||||xxyxxyyxyyxyxxyyxyyxyxxyfzuivviuuiuviv0()(,)(,)1)(,)(,)fzuxyivxyzuxyvxy函数在点2.定可理(充分导和；)：的一阶偏导连续,xyyxuvuvCR2)满足方程第二章解析函数22x1:()()(4)(,)(,).Efzuivzuvxyxxyyuxyvxy若是的解析函数，而且，试求与2222x2222()(4)4()(24)4()(42)(,,,,6,,,33,xyxyxyyxyyxxyuvxyxxyyuvxxyyxyxyuvxxyyxyxyuvuvuxyuxuvuvyuuvv分析)欲求需再列出的另一个方程或先求，再分而得解。:积23(),uxyy'2323222()3,()33()33yyyyyCuxyyCuxyxy233vxyxC同理第三章复变函数积分1复变函数积分的概念和性质2柯西积分定理及其应用3柯西积分公式和解析函数的高阶导数4解析函数与调和函数的关系第三章复变函数积分一、积分存在的条件及其计算方法1)C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。tctfzdzfztztdt3)化为参变量的定积分来计算。udyvdxivdyudxdzzfccc2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。第三章复变函数积分例：计算其中为以为圆心，为半径的正向圆周,为整数.C,10cnzzdz0zrn2020201110derideriderirezzdzinninncninin01,02,2解：的参数方程为iCzzre102,0,0,0,ncindznzz因此第三章复变函数积分二、积分的性质cckfzdzkfzdz（2）;ccfzdzfzdz（1）;cccfzgzdzfzdzgzdz（3）ccfzdzfzdsML（5）1212()()()CCCCfzdzfzdzfzdz（4）第三章复变函数积分C例：计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段：dzzc;10,,ttytx解:;1211010tdtdtiittdzzc第三章复变函数积分fzDfzDC若函数在单连通域内处处解析，则沿内的任意一条闭曲线（可以不是简单的）积分有三、柯西积分定理0cfzdz四、解析函数的原函数与等价定理CB定理一如果函数在单连域内处处解析，那么积分与连结从起点到终点的路径无关.定理二如果函数在单连域B内处处解析，那末函数必为B内的解析函数,且其中则F(z)称为f(z)的原函数.Fzfz，zfdzzfcfzuiv0()()zzFzfzdz第二章解析函数2121()()()zzfzdzGzGz定理三如果函数f(z)在单连域B内处处解析,G(z)为的一个原函数,则()fz五、复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广12nDCCCC为由边界曲线所围成的多连通区域，()fzD在内解析.则12,,,nCCC设为简单闭曲线(互不包含且互不相交)，12,,,nCCCC为包含的简单闭曲线，定理四：CDiC()0fzdz1or()().inCCifzdzfzdz第三章复变函数积分这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。---闭路变形原理六、柯西积分公式001()()d.2πCfzfzzizz12Cforfzdiz上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。0())(,fzDCDDzC：如果在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部定理柯完全含于为内的任西积分公式一点，则第三章复变函数积分例：:(1,2)(1)(2)zCedzCzrrzzz计算积分解：01r时，02(1)(2)(1)(2)zzzCeiizzezzdzz12r时，122(2)1CCzCezzidzz23iie12(2)zzeiizz03C22C11C第三章复变函数积分32)1(32Czdzzzzeiei2)1(232zzzzeiieiieiei33222r时，123CCC|z|11sindz?2+1+zizi思考：第三章复变函数积分010!1,2,2nncfznfzdznizz七、解析函数的高阶导数其中为函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于。zfCD0zD一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:n定理:解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:n高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.第三章复变函数积分22(1)zCedzz解：12CC