复习提纲答案

燕山大学建筑工程与力学学院土木工程系土木工程中的数值方法复习提纲问答题：1土木工程常用数值方法的共同特点。从无穷运算到有限运算；从无穷个自由度到有限个自由度；偏微分方程组到代数方程组。2有限差分法、有限单元法、边界单元法和无网格法的基本思想。有限差分法基本思想：把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似。于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用差值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。（基本思想：将求解区域划分为网络，然后在网格的结点上用差分方程近似代替微分方程，直接求解得出基本方程和相应的定解条件的近似解。）有限单元法基本思想：把计算域划分为有限个互不重叠的单元。在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。边界单元法基本思想：以微分方程的解为真实状态,以某一形式的基本解为辅助状态,应用功的互等定理或格林公式得到的域内某点的待定函数值与边界积分的关系式。边界元法即在区域的边界上划分单元,对边界积分方程进行离散,最后求得域内该点函数的近似值。无网格法基本思想：数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程3有限差分法的基本步骤。基本步骤：1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格格点组成的网格；2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3、逼近求解，即用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。4什么叫差分格式（自查）。画图解释三种常用一维一阶差分格式的含义。差分格式是数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法，即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者偏导数的一种算法。三种常用差分格式：向前差分，中心差分，向后差分5简单推导二阶偏导数22xu、yxu2对应的中心差分格式。hkuuuuyxukuuuyuhuuuxuhuuuhOhhxfxfhxfdxudnxfhxfhxfxfhxfnxfhxfhxfxfhxfjijijijijijijijijijijijijiiiinnn4222)()()(2)(!)()1(!2)(!1)()()(!)(!2)(!1)()()(1,11,11,11,1,221,,1,,222,1,,1,2221122000220)(20)2(0000)(20)2(0006画图简述构造有限差分方程的显式方法、隐式方法和Crank-Nicolson方法的含义。显式方法原偏微分方程),,(,1,,11,njnjnjnjuuugu显式方法原偏微分方程njnjnjnjuuuug,1,11,1,1),,(Crank-Nicolson方法7有限单元法中，三种常用的单元构造方法是什么。(1)直接方法直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法而言，只在简单情况下才能凑效。优点在于简单、易于理解，一些基本概念和作法的物理意义清晰。(2)变分方法有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。Ritz法要求被分析的问题存在一个“能量泛函”，由泛函取驻值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小位能/势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。Galerkin法只要求被分析问题的“本构关系/方程”存在。(3)加权残值法8有限单元法求解工程问题的一般步骤。(1)选取恰当的单元，建立单元有限元方程；(2)网格剖分，离散求解域；(3)将单元由局部坐标系转换到整体坐标系，并叠加单元有限元方程，形成总体有限元方程；(4)在总体有限元方程中引入强制边界条件；(5)求总体有限元方程，得到节点解；(6)后处理，求出单元内力、应力、应变、变形等。9比较说明位移单元、平衡单元和杂交单元的不同。(1)位移单元/位移元以位移场做为基本未知量，几何关系和弹性关系精确满足，平衡方程只能近似满足（近似解）。优点：未知量少；缺点：位移精度好，应力精度低。位移单元又分为两种：协调单元和非协调单元。位移单元是目前应用最广的一类单元。(2)平衡单元/平衡元以应力或应力函数为基本未知量，以应力协调关系（或最小位能原理）建立FEM方程。(3)杂交单元/杂交元同时以位移和应力等为基本未知量。这种单元在处理板、壳问题时有显著的优点。10简述有限单元法的可能发展方向。(1)高性能单元构造/有限元并行计算，满足高性能科学计算需要；(2)适用于不同应用背景的单元构造；(3)工程数值模拟中如何应用FEM工具获得与工程实际相符的分析结果；(4)工程中大量存在的奇异性问题、高效率有限元求解方法研究。11杆系结构单元离散的要点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：1)杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。2)结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。3)变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算4)对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。5)在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点上的等效结点载荷。12有限单元法中，位移函数的选用要求。a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。13什么是形函数。（自查）形函数，也称为试函数，基函数，在有限单元法中，形函数定义于单元内部的、坐标的连续函数。是指实际上尝试函数代表一种单元上近似解的插值关系它决定近似解在单元上的形状因此尝试函数在有限员发中又称为形函数。14简单推导平面弯曲梁单元的形函数。（不考虑轴向位移）15杆系结构单元刚度矩阵的性质。a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。c.单元刚度矩阵是一个奇异阵(行列式为0，无法求逆)。d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。16杆系结构整体刚度矩阵的性质。整体刚度矩阵K中位于主对角线上的子块uK称为主子块，其余为副子块。K为对称方阵；K为稀疏矩阵；K为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件；17简述有限单元法中约束处理的两类基本方法。18三结点三角形单元形函数的建立。19画图说明三角形单元面积坐标的定义，推导面积坐标和直角坐标的转化关系。三角形面积坐标的定义(,,)(,,)jimijmAAAPLLLPAAA三角形面积坐标的性质1ijmLLL111211[()()()]21()2ijjmmjmjmjmmjiiixyAxyxyxyyxyyxxxyabxcy1()2iiiiiALabxcyAA对一次单元iiLN对三结点三角形单元，面积坐标与插值形函数相同iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmuNuNuNuLuLuLuvNvNvNvLvLvLv由面积坐标和直角坐标的关系iijjmmiijjmmxLxLxLxyLyLyLy对比iiLNiijjmmiijjmmuNuNuNuvNvNvNv域内坐标和位移可以通过相同的差值函数分别由结点坐标和结点位移得到。20等参单元的基本思想。面积坐标下的三结点三角形单元面积坐标与直角坐标的变换关系：iijjmmiijjmmxLxLxLxyLyLyLy位移插值函数：iijjmmiijjmmuNuNuNuvNvNvNv对比iiLN域内坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点坐标和结点位移得到。利用坐标插值形式构造位移插值形式。计算题：1.采用有限差分方法求解一维热传导问题初始条件为（会给出具体形式），边界条件为。区域离散时，t间距取0.1s，x间距取0.1。请详细计算：（1）.推导隐式算法、Crank-Nicolson方法对应的有限差分方程。（2）.推导显式算法对应的有限差分方程，并计算的值。2.采用有限单元法求解下述杆系结构，单元和结点编号已给出。设两杆的杆长和截面尺寸相同，材料E=2.1×107kN/m2。请计算：（1）.求解四个结点的等效结点荷载；1结构离散化后将结构划分为4个结点、3个单元。截面积20.5mA惯性矩340.511m1224I2求结点载荷首先须求局部坐标系中固定端内力单元111010222110129.61048kN229.61080KNm1212oglVVglMM单元21102031030116080KN22160101200KNm88PVVPlMM在局部坐标系下单元载荷列向量单元1100488004880F单元220080200080200F单元330000000F为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵T单元1、2001cossin0000100000sincos0000010000001000001000I000cossin0000100000sincos0000010000001000001T单元30903cossin0000010000sincos0000100000001000001000000cossin0000010000sincos0000100000001000001T求各单元在整体坐标下的等效结点载荷0eP1111101000020488004880TPPTFFP222220200003080200080200TPPTFFP333T3040002000100000010000000001000000010000001000000000100TPPTFP求刚架的等效结点载荷0P00004800800000048800802000000080002000000000000P