复变函数06-柯西积分定理

复变函数与积分变换电信系通信工程教研室李广柱电话：[phone]手机：[phone]QQ：46860236Email：[e-mail]2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-2课前回顾复变函数的积分积分的定义积分存在的条件积分的计算方法积分的性质2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-3本次课讲述的内容柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-4积分与路径的关系在上节课中，学习了两个积分的例子，注意到复变函数的积分：2CzdzRedCzz与路径有关；而复变函数的积分：却与路径无关，那么现在的问题是：在什么情况下复变函数的积分与路径无关？注意到，函数Rez在复平面上不是解析的；而z2却是解析的，因此解析性应是一个影响因素。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-5积分与路径的关系在上节课中，还学习了一个重要的公式：01d20czizz该函数在复平面上除了z=z0这点之外，其它地方处处解析，换言之，在以z0为中心的圆周内不是处处解析的，此时C内的区域已经不是单连通域，这就造成了积分与路径有关的结果。zxyor0z以上几个例子说明，积分是否与路径有关，与该函数的解析性，以及积分区域的连通性有关。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-6柯西积分定理积分在什么情况下与路径无关呢？这个问题的等价提法是：针对包含起点和终点的简单闭曲线，其上的积分何时恒为0？回答这个问题，有如下的定理：()d0cfzz柯西积分定理：如果函数在单连通域D内处处解析，那么f(z)沿D内的任意一条封闭曲线C的积分为0：定理中的C可以不是简单曲线。DC2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-7柯西积分定理下面利用一种简单的情况证明柯西积分定理，假设：(1).C是简单曲线；(2).f(z)的导数在D内连续。没有这两个条件，柯西积分定理依然是成立的，但证明就稍稍复杂一些。zxiy证明：记()(,)(,)fzuxyivxy()()()0CCCxyxyDDfzdzudxvdyivdxudyGreenvudiuvd2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-8柯西积分定理关于定理的说明：(1).如果曲线C是区域D的边界，函数f(z)在闭区域上解析，那么：DDC()d0cfzz(2).如果曲线C是区域D的边界，函数f(z)在区域D内解析，在闭区域上连续，那么柯西积分定理依然成立，即：DDC()d0cfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-9例：计算积分。解：211111(1)2zzzzizi2121d(1)zizzz由于和都在内解析，根据柯西积分定理可得：1z1zi12zi21122111111dd(1)22zizizzzzzzizi2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-102112211122212111111dd(1)2211111ddd2211d2122zizizizizizizzzzzzizizzzzzizizziii2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-11柯西积分定理的推论推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那么积分仅与起点、终点有关，而与连接起点和终点的路线C无关。()cfzdzDD0z1z0z1z1C2C1C2C如果起点为z0，终点为z1，则：1012()d()d()dzzCCfzzfzzfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-12柯西积分定理的推论DD0z1z0z1z1C2C1C2C如果固定起点为z0，让终点z2在区域D内任意变动，并记z2=z，便可确定D内的一个单值函数：1012()d()d()dzzCCfzzfzzfzz0()()dzzFzfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-13柯西积分定理的推论如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那么函数：必为区域D内的解析函数，且满足：0()()dzzFzfzz()()Fzfz此性质与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-14原函数的概念如果函数F(z)在区域D内的导数为f(z)，那么称函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数。0()()dzzFzf显然，函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-15原函数之间的关系函数f(z)的任意两个原函数，仅相差一个常数，因此：0()()dzzFzf函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数，那么函数f(z)在区域D内存在无穷多个原函数，且一般表达式为：()Fzc2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-16不定积分的定义称函数f(z)的原函数的一般表达式F(z)+c（c为任意常数）为f(z)的不定积分，记为：()d()fzzFzc定理（类似于牛顿-莱布尼兹公式）如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，G(z)为f(z)的原函数，则：1010()d()()zzfzzGzGz这里z0、z1是区域D中的两个点。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-17例：求的值。解：10dzzzz21()()2fzzFzz11002221011d()22zzzzzzzzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-18复合闭路的概念所谓“复合闭路”，是指一类特殊的有界多连通区域D的边界曲线Γ，它有若干条简单闭曲线构成，记为：12nCCCCDC1C2C3C其中，C的方向按逆时针进行；C1、C2、…、Cn的方向按顺时针进行，并且它们都在C的内部，同时互不包含也互不相交，上述Γ的方向称为多连通区域D的边界曲线的Γ方向。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-19复合闭路定理设D是以“复合闭路”为边界的多连通区域，若f(z)在D内解析，在边界上连续，则有：(1).(2).，其中C和Ck均取正方向。12nCCCC()0fzdz1()()knCCkfzdzfzdz复合闭路定理：2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-20例：计算积分，其中Γ为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线。解：因为函数在复平面内有两个奇点：221dzzzzxyo1221zzz0z1z根据题意可知，Γ包含了这两个奇点，在Γ内作两个互不包含、互不相交的圆周C1和C2，其中C1仅包含奇点0，C2仅包含奇点1。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-21121122222212121ddd1111dddd1102204CCCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzziii根据复合闭路定理可知：xyo11C2C2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-22柯西积分公式定理：设区域D的边界是逐段光滑的简单闭曲线C围成的，若函数f(z)在闭区域上解析（或f(z)在区域D上解析，在C上连续），则对于任意D中的点z，有：1()()2CffzdizDzCDDC2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-23柯西积分公式关于柯西积分公式的说明：(1).把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示，这是解析函数的又一特征；(2).公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式；(3).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值：1()()()2()2CCfffzddifzizz20001()()d.2ifzfzRe2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-24例：求下列积分。解：041sin1d2sin022zzzzizizi441sin12(1)d(2)d213zzzzzizzz41sin(1)d2zzziz因为f(z)=sinz在整个复平面内解析，z=0位于|z|=4内，由柯西积分公式可知：2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-2544412(2)d1312dd1321226zzzzzzzzzziii2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-26高阶导数公式定理：解析函数f(z)的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为：()1!()()(1,2,)2()nnCnffzdniz其中C为函数f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线，而且他的内部全部包含于D。由此定理我们知道了一个解析函数的导数仍然是解析函数。高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分！2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-27高阶导数公式()1()2()()!nnCfidfzzn求积分时，可以利用高阶导数公式，将积分转换为求导问题，但是这要把积分的被积函数进行分解。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-28例：求积分，n为整数。解：如果n≤0，则被积函数在整个复平面上处处解析，根据柯西积分定理可知：1dznzezz1d0znzezz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-29如果n=1，则根据柯西积分公式可得：01d22zznzzezieiz如果n1，根据高阶导数公式可知：(1)00122d2()(1)!(1)!zzznnzzzeiizieeznn()010()2d()()!nnCfzizfzzzn2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-30Morera定理()d0Cfzz定理：设函数f(z)在单连通域D内连续，且对于D内任何一条简单闭曲线C都有下式成立：则f(z)在D内解析。Morera定理和柯西积分定理合在一起就是：若函数f(z)在单连通域D内连续，则f(z)在D内解析等价于下式成立：()d0Cfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-31小结柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-32作业习题3（*表示选做）：6.(1),(4),(5),(7)9.*