复变函数与积分变换-四.

DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》第四章级数•第一节复数项级数•第二节幂级数•第三节Taylor级数表示•第四节Laurent级数表示•第五节孤立奇点的分类DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》4.1复数项级数与复变函数项级数1.复数序列概念收敛与发散定理4.1.1定理4.1.2DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》2.复数项级数概念收敛与发散形如的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。121nnn若的前n项和有极限（n）,则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。1nnwnjjnwS1DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》收敛的充分必要条件－－定理4.1.3绝对收敛与条件收敛—定义4.1.4设，则级数收敛的充分必要条件是和都收敛，其中un和vn皆为实数。),2,1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv称级数是绝对收敛的，如果是收敛的1nnw1||nnw称级数是条件收敛的，如果是发散的，而是收敛的1nnw1||nnw1nnwDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》举例考察级数的敛散性1/11nnien考察级数的敛散性1nnz考察级数的敛散性12)1(nnninDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》3.复变函数项级数概念收敛与发散形如的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。121)()()()(nnnzwzwzwzw点收敛：域收敛：收敛称之10)(nnzw收敛，zB，称之1)(nnzwDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》收敛的充分必要条件一致收敛—定理4.1.6级数收敛的充分必要条件是和都收敛，其中),2,1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnnnkknnzwzSzSzf1)()(|)()(|其中对于，称它在B内一致收敛于函数f(z)，如果0，N()，当nN()时，有)(1zwnnM判别法DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》性质连续性--4.1.7可积性--4.1.8解析性—4.1.9级数在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn级数在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw级数在B内一致收敛f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzfDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》4.2幂级数1.幂级数概念形如的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复变常数。10)(nnnzza定理4.2.1（阿贝尔定理）DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》2.幂级数的收敛圆与收敛半径若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数收敛；而得当|z-z0|R时，级数发散，则称R为级数的收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzzaDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》收敛半径的求法：定理4.2.2；定理4.2.31limnnnaaRnnnaR1limD'Alembert公式Cauchy(根式)公式举例求级数的敛散半径及收敛圆1nnz求级数的敛散半径及收敛圆122)1(nnzDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》内闭一致收敛3.幂级数的性质在收敛圆内幂级数具有连续性、可积性4.2.5和解析性4.2.4幂级数在收敛圆内内闭一致收敛4.幂级数的运算DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》4.3Taylor级数表示1.Taylor展开定理设函数f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成（定理4.3.1）00)()(kkkzzazf)(!1)()(i210)(10'zfkdzfakCkkR其中z0zCRCR'RR'DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》举例函数f(z)=ez在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=sinz和f(z)=cosz在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=Lnz在z=1点的Taylor级数展开函数f(z)=(1+z)n在z=0点的Taylor级数展开DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》例2把函数展开成的幂级数•解:函数在内处处解析,•由公式(4.1.7)•把上式两边逐项求导,即得所求的展开式211z211zz1z1,11112zzzzznn.1,14321111322znzzzzznnDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》•解析函数的一个等价命题函数f(z)在B内解析的充分必要条件为f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数（定理4.3.2）DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》2.几个初等函数的幂级数展开式直接方法间接方法函数f(z)=arctanz在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=sinz在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=1/(1-z)2在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数f(z)=tanz在z=0点的Taylor级数展开DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》4.4Laurent级数•问题的提出已知结果：当f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》1.洛朗级数（双边幂级数）其中nnnnnnnzzazzazzazzaazzazzazza)()()()()()()(00202010101202000)(nnnzza被称为双边幂级数的正幂部分10)(nnnzza被称为双边幂级数的负幂部分DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》•收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》00)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R101zzDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》•双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。nnnzza)(0nnnzzazf)()(0DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》2.Laurent展开定理设函数f(z)在环状域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0CDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点说明)(!10)(zfnannLaurent级数展开的唯一性收敛范围的极限的确定DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》举例函数f(z)=sinz/z在0|z|内的Laurent级数展开函数f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|和0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z|21-10|z-1|2DepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》例3把函数展开成的级数解:因为所以zezzf13z!!3!2132nzzzzenz.0,!51!41!31!2!31!211122332313zzzzzzzzzzezzfzDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》例4把函数在收敛圆环域内展开成罗伦级数.解:因为所以,.222212121121213322nnzzzzzz211zzzfzzzzzf2111211,11132nzzzzznzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10z01zDepartmentofElectronicEngineering2020/1/3《复变函数与积分变换》例5把函数在收敛圆环域内展开成罗伦级数.解:因为所以,232311111.222222212nnzzzzzz211zzzfnnzzzz22221213322zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz21111zzzzf842111121zzzzznn21z12