复变函数与积分变换期末试题同济大学

2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2013—2014学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考查此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(10%)已知𝑓(𝑧)=𝑧−4𝑧−1，求一切使得𝑓(𝑧)=𝑧成立的自变量的值。2.(1)(4%)已知：u(x,y)=excos𝑦+𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦，证明：u(x,y)为调和函数。(2)(6%)求u(x,y)的共轭调和函数𝑣(𝑥,𝑦)。(3)(6%)记f(z)=u(x,y)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦)，若f′′(z)=f(z)，求𝑣(0,0)。(4)(4%)对上述f(z)，求其沿曲线(cos𝑡,𝑡2+1)的积分，这里0≤t≤1。2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.(1)(8%)求𝑒−𝑧𝑧−1在0点邻域上的Taylor级数（至少写出前4个非零项）。(2)(12%)求出zez−e−z在复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。4.(1)(10%)求积分∫𝑑𝑧𝑧sin𝑧|𝑧|=4(2)(10%)求函数f(x)=e−|x+1|的Fourier变换。2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--35.(10%)求解微分方程初值问题x′′(t)−2x′(t)+x(t)=1,x(0)=0,x′(0)=−1.6.(10%)求将复平面的第一象限变为单位圆盘的共形映照。7.若分式线性变换𝑓(𝑧)=𝑎𝑧+b𝑐𝑧+𝑑中，系数a,b,c,d均为整数，且𝑎𝑑−𝑏𝑐=1，则𝑓(𝑧)称为模变换。(1)(5%)证明：若𝑓(𝑧)是模变换，则其逆变换𝑓−1(𝑧)也是模变换。(2)(5%)证明：若𝑓1(𝑧),𝑓2(𝑧)都是模变换，则𝑓1(𝑓2(𝑧))也是模变换。