复变函数和断裂力学

第二讲:线弹性断裂力学·弹性裂纹尖端场的特征展开(Williams,1957)概述裂纹可分为三种类型：I型——张开型II型——剪切型III型——撕开型(反平面剪切型)三种裂纹的形式中，I型裂纹最为常见，在工程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III型裂纹比较简单。断裂力学简介研究内容11、断裂力学分类、断裂力学分类线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学2、裂纹的分类33、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用主要应力分量,；位移0,0,,uvwwxyxzyzIII型反平面剪切问题复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和函数。如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼方程求出与之共轭的调和函数。III型反平面剪切问题可见Ⅲ型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有奇异性，且与因子成正比。称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子，它是由外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。12rKⅢKⅢ3200lim2rKrIIIIII型反平面剪切问题在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的第二项，此时应力和位移场变为：IIIIII0III313131IIIIIIIII32320131III3,,2sin.2KKxKru2r2r%%线弹性力学的平面问题和反平面剪切问题平面问题的复变函数表示应力组合与位移组合Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题平面问题，应变分量为：线弹性本构关系为：平衡方程为：变形协调方程为：12(,)uuxx1(,,)2uu113()24E,0,,0Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题如果应力分量由Airy应力函数表示，即：以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时满足变形协调方程，就必须满足以下双调和方程：12xx2,,,22,()0Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题满足拉普拉斯方程，则类似于反平面问题，可以将表示为：积分得：22224fzfzzzfz为解析函数12zzzzzz和为解析函数Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题易证：112222()()4Re()mzzz2212()()()()izzzzz1212uiuzzzzz34341对于平面应力对于平面应变22111222()()izzzⅠ型和Ⅱ型裂纹问题设上述方程的解有以下的形式：代入裂纹上下表面（）的应力自由边界条件，可得：12,zCzzCz111CABi222CABiC1,C2为待定复常数0为实常数1(1)1(1)2212111(1)1(1)1210iiiiiCreCreCreCreⅠ型和Ⅱ型裂纹问题即：解的一般形式表示为:类似于Ⅲ型问题，裂纹前端的应力应变场由第1项主导，其系数为:1121121121120000iiiiiiiiiiiiCeCeCeCeCeCeCeCeCeCeCeCe00cos41,,1,2,32nn即该方程组有非零解得条件是:（当时，裂尖位移奇异，当时，代表刚体位移）13221112131322212223,.zCzCzCzzCzCzCz1112CKiKⅠⅡKⅠIIK和分别为I、II型应力强度因子Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题Ⅰ型情况下的应力场和位移场表示为：IIII222KKruur，%%I11I1I22I2I1231sinsin22cos32cos1sinsin,cos222sin32sincos22uu%%%%%式中：Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题Ⅱ型情况下的应力和位移场表示为：IIIIIIII222KKruur，%%II11II22II123sin2coscos2223sincoscos,2223cos1sinsin222%%%II1II2323sinsin1223223coscos22uu%%式中Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力场和位移场为：IIIIIIIIIIIIIII1212122211222284TTKKrrKiKrruiuuiuuiuizzzT11++，%%%%%%第二项对应着刚体转动和均匀的横向应立场的叠加效应T在文献中称为T应力，所以上式中的裂尖场又称为K-T场T线弹性断裂力学裂纹的基本类型I型——张开型（openingmode)II型——滑开型（slidingmode)III型——撕开型（anti-planeshearmode)张开型滑开型撕开型线弹性断裂力学二维I型裂纹的应力强度因子——衡量裂纹尖端区应力场强度的参量3cos1sinsin......22223cos1sinsin......22223cossincos......2222IxIyIzKrKrKrIK线弹性断裂力学II型裂纹尖端附近的应力场III型裂纹尖端附近的应力场3sin2coscos22223sincoscos22223sin1sinsin2222IIxIIyIIzKrKrKrcos22sin22IIIzyIIIzyIIIyKrKrKSa其中，线弹性断裂力学均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场（I-II混合型裂纹）：2222cos12sinsin12cos2222222sin12cossin12sin22222223,12134,IIIxIIIyKKrruKKrruE，平面应力式中，平面应变线弹性断裂力学I型裂纹位移垂直于裂纹，呈平面张开型；II型裂纹位移平行于裂纹，呈平面剪切型；III型裂纹反对称于裂纹及其延长线12sin2zIIIruK线弹性裂尖场特点三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开式的第二项的情况下得出的场统称K场。K场具有以下四个特点：①三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，，即认为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域内K场是适用的。线弹性裂尖场特点②K场内的位移与成线性比例关系。③三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度因子、和决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与坐标无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。12rIKIIKIIIK,r线弹性裂尖场特点④裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角有关，而与无关，对于同一种变形模式，角分布函数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是Ⅰ型和Ⅱ型K场的线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。rI22II1200lim20lim20rrKrKr，线弹性断裂力学用柔度法确定临界应变能释放率柔度：变形与载荷的比值总应变能—柔度：应变能释放率：临界应变能释放率：CGcF21122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba工程断裂问题与材料断裂韧性材料的断裂韧性临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常数。断裂准则：当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不安全。ICK,,ICICKKKK裂纹不扩展，安全裂纹扩展，不安全关于G~K的关系式：以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（拉）力，此时OA段的上下边之间没有相对位移，且有I0K2πyyx0yyAoπ,=-rva(a)(b)arr第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小到零，则相应裂纹扩展了长度，位移，当第三步，计算能量释放率,由实功原理：平面应变:πI00r11G2d2yyv222IIII0K14(1)1GKdKE2πE2πK与G之间有简单的换算关系平面应力222IIII0K14(1)1GKdKE2πE2π2IIKGEIIKEGII2EGK1线弹性断裂力学——I型裂纹的应力强度因子——II型裂纹的应力强度因子——III型裂纹的应力强度因子裂纹尖端的应力奇异性:当时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大。应力场具有的奇异性。原因：裂纹尖端是几何上的不连续点。IKIIKIIIK0r12r线弹性断裂力学应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量——裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的应力强度因子。线弹性断裂力学计算应力强度因子的方法解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数法、、、数值法：有限元法、有限体积法、、、应力强度因子手册应力强度因子的量纲：32力长度线弹性断裂力学例子二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称、受力对称、各向同性材料）IIKkaIIIIKka线弹性断裂力学用柔度法确定临界应变能释放率柔度：变形与载荷的比值总应变能—柔度：应变能释放率：临界应变能释放率：CGcF21122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba材料断裂韧性材料的断裂韧性临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常数。称为平面应变断裂韧度应力强度因子断裂准则：当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全