复变函数复习 (1)

复变函数复习第一章复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z=x+iy,其中x,y为实数.(2)复数的几何表示:复数z=x+iy可以用xy平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P点的平面向量OP来表示.(3)复数的三角表示:复数sincosirz复数的模22yxrz复数的辐角Argz=θ,xyArgztg,复数的辐角的主值argzArgz=argz+2kπ(k为整数).规定-π＜argz≤π当0z时,|z|=0,辐角没有意义.当z时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角.argz(0z)与反正切xyArctg的主值xyarctg22xyarctg的关系：第一、四象限xyarctgzargx﹥0第二象限xyarctgzargx﹤0,y﹥0第三象限xyarctgzargx﹤0,y﹤0正虚轴2argzx=0,y﹥0负虚轴2argzx=0,y﹤0负实轴zargx﹤0,y=0(4)复数的指数表示：irezz,0时2.复数的运算设z1=x1+iy1=111sincosir,z2=x2+iy2222sincosir(1)相等z1=z2x1=x2y1=y2(2)加(减)法z1z2=(x1x2)+i(y1y2)(3)乘法z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)212121)(21sincos21irrerri(4)除法222121zzzzzz=22222121yxyyxx+i22222112yxyxyx2121ierr)]sin()[cos(212121irr(z2≠0)(5)乘幂)sin(cosninrerzninnn特别|z|=1时,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(棣莫弗公式)(6)方根,2sin2cos1nkinkrznn1,,2,1,0nk(7)共轭z=x-iy=re-iθ,21zz=1z2z,121zzz2z,2121zzzz;zz;22yxzz;xzz2,iyzz2.注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121zzzz,2121ArgzArgzzzArg2121zzzz,Arg21zz=21ArgzArgz(z2≠0)3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z变化方式的任意性,即z→z0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x→x0只能沿x轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t的复值函数z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)其中x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β)是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章解析函数1.复变函数的导数(1)定义函数w=f(z)在其定义域D内一点z0处(可导)的导数000000000limlimlimzzzfzfzzfzzfzwdzdwzfzzzzzz若函数w=f(z)在区域D内处处可导,称f(z)在D内可导.(2)f(z)在z0可导连续(3)求导法则若f(z),g(z)在点z可导,则1bbbzz(b为复数);zgzfzgzf;zgzfzgzfzgzf;zgzfzgzfzgzgzf21,0zg.zgwfzgf,其中zgw.wzf1,其中zfw与wz是两个互为反函数的单值函数,且0w.2.解析函数(1)定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z0解析.如果f(z)在z0不解析,则称z0为f(z)的奇点.如果f(z)在区域D内每一点解析,那末称f(z)在D内解析,或称f(z)是D内的一个解析函数.(2)性质两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析有理分式函数)()(zQzP在复平面内除了使分母为零的点外处处解析(3)柯西-黎曼方程(C-R方程)函数yxivyxuzf,,在定义域D内(解析)一点iyxz可导u(x,y)与v(x,y)在(D内)点(x,y)可微,并且满足C-R方程yvxu,xvyu.推论若f(z)在z处可导,则yuiyvxvixuzf.3.初等函数定义定义区域单值多值性解析区域(1)对数函数Lnz=lnz+2kπi整个复平面多值整个复平面iArgzzLnzln(z0)(除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…)主值分支zizzarglnln(2)乘幂ab=ebLna=eblna+2bki多值(k=0,±1,±2,…)主值分支eblnab为正整数n单值整个复平面nb1n个分支(除原点和负实轴)定义定义区域解析区域单值多值性基本周期奇偶性(3)指数函数ez(4)双曲函数2zzeechz2i偶2zzeeshz整个复平面单值奇(5)三角函数2cosizizeez2偶ieeziziz2sin奇第三章复变函数的积分1.积分的计算tdtztzfzdzfC光滑曲线C参数方程:ttiytxtzz,,正向t增加Cnzzdz100002nniC是包围z0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1)dzzfdzzfCC;(2)dzzfkdzzkfCC;(k为常数)(3)dzzgdzzfdzzgzfCCC(4)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足Mzf,那末MLdszfdzzfCC.3.柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连域B内处处解析，那末函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零:0dzzfC.推广:(1)闭路变形原理在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理设C为多连域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，…，Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C，C1，C2，…，Cn为边界的区域全含于D.如果f(z)在D内解析,那末1)dzzfdzzfnkCCK1,其中C及Ck均取正向.2)0)(dzzf,这里г为由C及Ck―（k=1，2，…，n）所组成的复合闭路,其方向是:C逆时针，Ck―顺时针.推论:(1)dzzfdzzfZZC10,Ｃ是连结z0与z1的任一曲线.(2)函数dfzFZZ0必为B内的—个解析函数,并且zfzF.5.原函数如果在区域B内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B内的原函数不定积分czdzzf,其中ｃ为任意复常数.0110zzdzzfZZ,其中z0,z1是B内任意两点6.柯西积分公式如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,那末dzzzzfizfC0021解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z0求n阶导数得到高阶导数公式dzzzzfinzfCnn1002!.7.调和函数如果二元实变函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222yx,那末称φ(x,y)为区域D内的调和函数任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数.8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程xuyv,将x当成常数,对y积分得xgdyxuyxv,,再利用xvyu确定g(x).也可以利用yuxv,将y当成常数，对x积分得yhdxyuyxv,,再利用yvxu确定h(y).(2)不定积分法由于xvixuzf,利用柯西一黎曼方程得到zUyuixuzf,则cdzzUzf.或zVxviyvzf,则cdzzVzf.第四章级数1.幂级数形为nnnnnazcazcazccazc22100或nnnnnzczczcczc22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理如果级数0nnnzc在00zz收敛,那末对满足0zz的z,级数必绝对收敛.如果在0zz级数发散,那末对满足0zz的z,级数必发散.(2)对于幂级数nnnazc0或0nnnzc,存在以a或0为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部,级数绝对收敛;在CR的外部，级数发散.圆周CR称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R称为收敛半径.特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数0nnnzc,如果nnncc1lim或nnnclim那末收敛半径1R.(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数nnnazc0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆Raz内,式nnnazczf0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数函数f(z)可在以展开中心z0为圆心,z0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z0的解析圆域z-z0R内展开为泰勒级数.nnnzznzfzf000!泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式.常用的已知函数的展开式为nzzzz2111,1z.!!3!2132nzzzzenz3.洛朗级数函数f(z)可在以展开中心z0为圆心的解析的圆环域R1z-z0R2内展开为洛朗级数nnnzzczf0,其中,2,1,0.2110ndzficCnn这里C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义如果函数f(z)虽在z0不解析，但在z0的某一个去心邻域00zz内处处解析，则将z0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z0为f(z)的zfzz0limf(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数可去奇点存在且有限没有负幂项极点∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞无穷多个负