复变函数教案12

第一章复数与复变函数教学课题：第二节复平面上的点集教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念；2、理解区域与约当曲线这两个重要概念；3、了解约当定理和区域的连通性。教学重点：平面点集的几个基本概念教学难点：区域与约当曲线教学方法：启发式教学教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。教学过程：1、平面点集的几个基本概念：定义1.1设),0(,rCa，a的r-邻域),(raU定义为},,|||{Czrazz称集},,|||{Czrazz为以a为中心，r为半径的闭圆盘，记为),(raU。定义1.2设CaCE,，若EraUr),(,0中有无穷个点，则称a为E的极限点；若0r，使得EraU),(，则称a为E的内点；若EraUr),(,0中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为E的边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为E；EE称为E的闭包，记为E；若0r，使得}{),(aEraU，则称a为E的孤立点（是边界点但不是聚点）；定义1.3开集：所有点为内点的集合；闭集E：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E；则任何集合E的闭包E一定是闭集；定义1.4如果0r，使得),0(rUE，则称E是有界集，否则称E是无界集；复平面上的有界闭集称为紧集。例1、圆盘),(raU是有界开集；闭圆盘),(raU是有界闭集；例2、集合}|||{razz是以a为心，半径为r的圆周，它是圆盘),(raU和闭圆盘),(raU的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合}||0|{razzE是去掉圆心的圆盘。圆心Ea，它是E的孤立点，是集合E的聚点。无穷远点的邻域：0r，集合},|||{Czrzz称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。C我们也称为C的一点紧化。2、区域、约当（Jordan）曲线：定义1.5复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D。则称D是一个区域。结合前面的定义，有有界区域、无界区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给)(),(btatzz如果)(Retz和)(Imtz都在闭区间],[ba上连续，则称集合]},[|)({battz为一条连续曲线。如果对],[ba上任意不同两点1t及2t，但不同时是],[ba的端点，我们有)()(21tztz，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或约当曲线。若还有)()(bzaz，则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线：如果)(Retz和)(Imtz都在闭区间],[ba上连续，且有连续的导函数，在],[ba上，0)('tz则称集合]},[|)({battz为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。C中区域的连通性：如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。例1、集合}0)1()1(|{ziziz为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线0)1()1(zizi即0yx。例2、集合}3Re2|{zz为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线2Rez及3Rez。例3、集合}3)arg(2|{izz为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线2)arg(iz及3)arg(iz。例4、集合}3||2|{izz为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆2||iz及3||iz。例5、在C上，集合}||2|{zz与}||2|{zz分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为}2|{|z及}{}2|{|z。定义1.6设连续弧AB的参数方程为)(),(ttzz任取实数列nnnttttt110:并且考虑AB弧上对应的点列：)3,2,1(),(nitzzii将它们用以折线nQ连接起来，nQ的长度niiintztzI11)()(如果对于所有的数列，上述都有界，责成AB弧为可求长的。上确界nILsup称为AB弧的长度。定义1.7设简单（或简单闭）曲线C的参数方程为),(),()(ttiytxz又在t上，)(),(tytx存在、连续且不全为零，则C称为光滑（闭）曲线。定义1.8有有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。特别，简单折线是逐段光滑曲线。定理（约当定理）任意简单闭曲线C将平面z惟一地分成C、I（C）、E（C）三个电集，它们具有如下性质：（1）、彼此不交；（2）、I（C）是一个有界区域（称为C的内部）；（3）、E（C）是一个无界区域（称为C的外部）；（4）、若简单折线P的端点属于I（C），另一个端点属于E（C），则P必与C相交。沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是:当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左边，即“逆时针”方向，成为正方向；另一个方向是:当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左边，即“顺时针”方向，成为负方向。定义1.9设D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域。否则，称为多连通区域。