复变函数第一章第一节

复变函数与积分变换张慧清[e-mail]2前言二、发展简介：十六世纪中叶：十七世纪：十八世纪：Euler一、研究对象和研究内容：3十九世纪：CauchyRiemannWeierstrass4三、学习中的注意点：1、方法2、态度第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考6第一章复数与复变函数1.复数的代数运算和共轭运算一、复数的基本概念二、复数的代数运算三、复数的共轭运算7一、复数的基本概念：1、复数的定义：形如的数称之为复数，其中为虚数单位，为实数，分别称为的实部和虚部，记作：zxiyi,xyzRe,Imxzyz虚部为零，即为实数，实部为零，称为纯虚数。2、复数相等：设111222,zxiyzxiy121212,zzxxyy83、共轭复数若zxiy，它的共轭复数就定义为：zxiy若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭的。二、复数的代数运算：1、加减法：1211221212()()zzxiyxiyxxiyy2、乘除法：12112212121221()()()zzxiyxiyxxyyixyxy11111222222222()()()()zxiyxiyxiyzxiyxiyxiy9三、复数的共轭运算：121211121222222(1)(2)(3)(4)[Re][Im]||(5)2Re2Imzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzziz1212211222222222xxyyxyxyixyxy102.复数的几何表示一、复平面：1.定义：建立平面直角坐标系，让平面上的点表示复数,则复数的全体和平面上的点建立了一一对应关系，这样的平面称为复平面，其中轴称为实轴，轴称为虚轴。(,)xyzxiyxy2.复数的点表示法：任意复数可用复平面上的点来表示。113.复数的向量表示：复数和从原点指向点的向量是一一对应的，所以可以用从原点出发的向量来表示复数。复数代数运算的几何意义：1）加法：和相加即为以、为边的平行四边形的对角线指的向量所对应的复数。2）减法：减即为从端点指向端点的向量。zxiy(,)xy1z2z1z2z1z2z2z1z124.复数的三角表示式：习惯上把表示式称为复数的直角坐标表示式或代数形式，利用直角坐标系和极坐标之间的联系cossinxryr则(cossin)zri其中表示所对应向量的长度，称为的模，记作,称为的幅角，记作,Argz把其中落在(,]之间的角0称为主幅角，记为0arg,z则有：arg2(0,1,2,)Argzzkk1）模和幅角的定义zxiyrzz||rzz三角表示式132）主幅角的计算下面的公式给出了主幅角的计算方法：arg022yarctgzxyarctgzxyarctgzxzzzzz在第一、四象限在第二象限在第三象限在正轴在负轴在正轴在负轴xxyy14例1.将下列各复数表示为三角形式：(1)223zi解:(1)因在第三象限，所以：232arg23zarctg又||4124z所以：224[cos()sin()]33ziz155.复数的指数表示式：利用欧拉公式cossin,iei从复数的三角表示式即得指数表示式.izre6.几个重要不等式：121212121212|Re|||,|Im|||,|||Re||Im|||||||||zzzzzzzzzzzzzzzzzzz二、复球面xyPNOS16现在建立这样的对应关系：'ospp这样，除N点之外，球面上的所有点和复平面上的所有点之间建立了一一对应关系，该球面即称为复球面。注意到当复数的模越大时，它所对应的复球面上的点越靠近N,因此我们可以认为N和复平面上一个模为的点相对应，这样的一个点成为无穷远点，记为。若把无穷远点添加到复平面中，则称为扩充复平面，与其对应的球面称为扩充复球面。z17（为特定整数）3.复数的乘幂与方根一、乘积与商1.乘积：设121111122222(cossin),(cossin)iizrirezrire则：12()1212121212cos()sin()izzrrirre可以看出:12121212||||||argargarg2zzzzzzzzk1212()ArgzzArgzArgzk1）表达式：182）几何意义：12zz即为把1z旋转2并将模伸长2r倍所得向量。2.商：设121112122122(cossin),(cossin)iizrirezrire则：(为正，逆时针，为负，顺时针)2221()2222121111cos()sin()izrriezrr可看出：22221111,zzzArgArgzArgzzzz19例1.证明三角形的内角和为。证明：设三角形的三顶点为123,,,zzz三顶角为,,,322131121323arg,argargzzzzzzzzzzzz所以：133221312312argargarg2zzzzzzkzzzzzz即：2k则：又因03,k只能为零。即得结论。20二、幂与根：1、幂：n个相同的复数z的乘积称为z的n次幂，记作.nz设(cossin),izrire则：(cossin)nnninzrninre特别地，1r时：cossin(cossin)nnini称为莫勒弗公式。2、根：若nwz则称w为z的n次方根，记作nwz。设(cossin),(cossin)zriwi21(cossin)(cossin)nninri即得：2,(0,1,2,)nkrkn当0,1,2,,1kn时，有n个不同的值，即得n个22(cossin)(0,1,,1)nkkkwriknnn相异根：由nwz得：22例2：求41i解：因12(cossin)44ii84224412(cossin)(0,1,2,3)44kkiik所以：23例3求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解.22)1(的点的轨迹为距离表示所有与点方程iiz.2,的圆半径为即表示中心为i,iyxz设,2)1(iyx,2)1(22yx.4)1(22yx圆方程2422)2(ziz.22距离相等的点的轨迹和表示所有与点i.22段的垂直平分线的线和连接点故方程表示的曲线就是i,iyxz设,22yixiyix化简后得.xy4)Im()3(zi,iyxz设,)1(iyxzi,41)Im(yzi.3y所求曲线方程为25§4、平面点集的几个基本概念1、点集：点的有限个或无限个集合称为点集。由于复平面上的点和复数是一一对应的，所以复平面上的点集可看作是复数的集合。2、-邻域：设0z为复平面上一点，对于任意给定的正数,满足0||zz的点集称为点0z的-邻域，满足00||zz的点集称为0z的去心-邻域。若0,zM为任意正数，满足||zM的点集称为的邻域，满足||Mz的点集称为的去心邻域。263、聚点、孤立点、外点、内点、界点1）聚点：对于点集E,若0z的任意邻域都有E的无穷0z为E的聚点或极限点。0zE,但非E的聚点，称为E的孤立点。多个点，称2）孤立点：若4）内点：若0zE，且有一邻域含于E内，则为E的内点。5）界点：E的异于内点的聚点及E的孤立点均称为E的界点，E的全部界点称为E的边界。3）外点：若0zE，又非E的聚点，则称0z为E的外点。274、开集、闭集若点集E的点均为内点，则称E为开集。若E的聚点均属于E，则称E为闭集。5、区域：1）区域：满足下面两条件的点集E称为区域。A）E是一个开集。B）E是连通的。2）闭区域：区域加上边界称为闭区域。3）有界区域：若一个区域E可以被包含在一个以原点为中心的圆里面，则称E为有界的。否则，为无界的。286、约当曲线：1）连续曲线：设(),()xtyt是t的两个实函数，在闭区间[,]上连续，则方程组()()()xxttyyt确定了一条平面曲线，若令()()()zxtiytt则zztt即为曲线参数方程的复数形式，和()z()z分别称为该曲线的起点和终点。292）重点：若对于1212,[,],,tttt但12()(),ztzt则称点1()zt为曲线的重点。3）凡没有重点的连续曲线，称为约当曲线或简单曲线。除()()zz外无重点的连续曲线，称为约当闭曲线。4）设约当曲线C的参数方程为()()()zxtiytt在t上，()xt及()yt存在、连续且不全为零，则该曲线称为光滑曲线，由有限条光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线。5）对于光滑闭曲线或分段光滑闭曲线，我们称之为围道。围道方向的规定：30假设一观察者沿围道而行，围道内部在观察者的左方，则规定该方向为围道正向，反之，为负向。7）单连通区域：若区域D的任意一条约当闭曲线的内部仍属于D，则D称为单连通区域，否则为多连通区域。单连通域多连通域31§5复变函数一、复变函数的定义：1、单值函数：设E为一复数集，若对E内每一复数，按照一定的规则函数()().wfzzE2、多值函数：有唯一的复数与之对应，则称在E上确定了一个单值zw若对于E内每一个复数，有几个或无穷多个与之对z应，则称在E上确定了一个多值函数集合E称为定义域，的全体称为值域。w(),wfzw323、复变函数的表示：设是定义在点集E上的单值或多值函数，设()wfz,fzxiywuivw又可记为：(,)(,)wuxyivxy例：函数22wz可写为222()222wxiyxyxyi这里22(,)2(,)2.uxyxyvxyxy33二、复变函数的几何意义取两张复平面------平面，平面，用平面上的点集zwzG到平面的点集的映射来表示复变函数。若wGG中的点被映成中的点，则称为的象，而zGwwzz称为的原象。w1.wz例函数构成的映射.ibawwibazz的点平面上映射成平面上的点将34xyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC35xyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC.,映射是关于实轴的一个对称不难看出重叠在一起平面平面和如果把zwwzo1w2w1z2z且是全同图形.36例2讨论函数把下列曲线映成何种曲线：2wz1）以原点为心，2为半径的第一象限的圆弧；2）22xyc3）x其中均为常数。,c解：1）曲线可表示为：2(cossin)(0)2zi则：24(cos2sin2)(02)wzi表示的是以原点为心，4为半径的上半圆周。372）设则：,,zxiywuiv2222()2wzxiyxyxyi所以,uc表示的是一条直线。3）的象的参数方程为：x222uyvy消去得：y2224()vu表示的是以原点为焦点，向