复变函数第二章习题答案

第二章解析函数1-6题中：（1）只要不满足C-R条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导yxyxvvuu,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R条件则肯定不是解析函数。解析函数求导：xxivuzf)(4、若函数)(zf在区域D上解析，并满足下列的条件，证明)(zf必为常数。（1）证明：因为)(zf在区域上解析，所以。令),(),()(yxivyxuzf，即xvyuyvxu,0yvixuzf)(。由复数相等的定义得：00xvyuyvxu,。所以，1Cyxu),((常数)，2Cyxv),((常数)，即21iCCzf)(为常数。5、证明函数在平面上解析，并求出其导数。（1）0fzzDz(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy证明：设=则，；；满足xvyuyvxu,。即函数在平面上),(yx可微且满足C-R条件，故函数在平面上解析。8、（1）由已知条件求解析函数ivuzf)(，xyyxu22，iif1)(。解：由于函数解析，根据C-R条件得yxvuyx2于是)(xyxyv222其中)(x是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得xyuxyvyx22)(，所以xx)(，即cxx22)(。于是cxyxyv22222又因为iif1)(，所以当10yx,，时1u，121cv得21c,,fzuxyivxy(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy,(cossin)xuxyexyyy,(cossin)xvxyeyyxy(cossin)cosxxuexyyyeyxcossincosxxxveyyyexyey(sinsincos)xuexyyyyy(cossinsin)xveyyxyyxzz()(cossincos)(cossinsin)xxuvfziexyyyyieyyxyyxx2,2xyuxyuyx所以)()(212222222xyxyixyyxzf。9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。10、提示：求出实部和虚部对x，y的一阶偏导，若不满足C-R条件则肯定不是解析函数，若满足C-R条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。14.若iyxz，试证：（1）xshyixchyzcossinsin。证：==18、解方程（1）31iez解：)(kizeie23231其中,......,,210k则)(ln][)(kieLnzki232223（2）2izln。解：即sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi()sincos22yyiiyyeeeexixsincosxchyixshylnlnarg02izziz设，得，即。20、（2）)sin(ln)cos(lnln33333ieeiiLni试求iiiieii231,,,)(及)(iLn1。解：（1）)(])[()(iiLniLnieeii111因为)(ln][)()(kieLniLnki2422124所以)(ln)(ln)()(kkiiiLnieeeei242224211,......,,210k（3）iLniiei)()(kiLneLniki2222)(kiLniieei22,......,,210k（4）)sin(cos11222ieeeeii（5）)(ln][)()(kieLniLnki24221241,arg2zzzxiy221xyarg2xiy0,1xyzi22，求证10zzzsinlim证:(x,y,均为实数)，所以当则极限趋近于z轴，有当时，则极限趋于z轴，有10xxxsinlim，故10zzzsinlim。zxiy,sinsin()limlimzxyzxiyzxiy0xsinlim1iyiyiyiyeeiyiyz0y