复变函数第四版(第一章)

2020/1/31普通高等学校《线性代数》课件计算机科学系黄玉昌二○○三年八月第一章第二章第三章第四章第五章第六章结束第一章第二章第三章第四章第五章第六章结束普通高等学校《复变函数与积分变换》信息科学与工程学院黄老师[e-mail]2013年8月}}复变函数与积分变换第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第一章复数与复变函数第五章留数第六章积分变换简介}}§1.2复数的运算§1.3复数方程与平面几何图形§1.4区域§1.1复数及其表示法第1章复数与复变函数§1.5复变函数§1.6复变函数的极限和连续性}自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.}对于任意二实数x,y,我们称为复数.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z).称为Z的共轭复数.一、复数的概念特别地，两个复数相等他们的实部和虚部都相等与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小..00yxyixz§1.1复数及其表示法}1.代数形式:iyxz1)点表示iyxz复数(,)XOYzxy平面上的点yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴二、复数的表示法}2)向量表示----复数z的辐角(argument)记作Argz=.复数z=x+iy矢径zy0xxyz=x+iyz22zzrxy----复数z的模zx与轴正向的夹角|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzx}在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:arctan22yx其中任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足0的0称为Argz的主值,记作0=argz.则Argz=0+2k=argz+2k(k为任意整数)}说明：当z在第二象限时，arg022ztan()tan()tanyxarctanyxarctan.yx2.指数形式与三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcos,y=rsin,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式ei=cos+isin得指数表示式:}例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizi[解]1)||1244.rzz在第三象限,因此235arctanarctan.3612于是56554cos()sin()466izie2)显然,r=|z|=1,又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此31033cossin1010izie}练习：写出的辐角和它的指数形式。132iz解：322argarctanarctan3,1233z2arg22,,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize}§1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算222111,iyxziyxz}例1设,求[解]所以iiiz131.)Im(),Re(zzzz与,2123)2323()1)(1()1(3)(iiiiiiiiiiz.25)21()23(,21)Im(,23)Re(22zzzz练习设,求iiz121.)Im(),Re(zzz与.232123)Im(,21)Re(izzz，答案：}111izre222izre12()1212izzrre1212121212rgzzrrzzArgzzAzArgz定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.分析：设等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.}例2：设121,.zzi求：12;12.zzArgzz212;izzie解：)(.2221ZkkzArgz}22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.}2.乘方与开方运算1）乘方cossinnninnzrerninDeMoivre公式：cossincossinninin}2）开方:若则称w为z的n次方根，nwz记为.nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,,1)nwzargzkArgwnkn于是推得}2122cossin(0,1,,1)argzkinnnnzzeargzkargzkrinnkn从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。}例3求41.i[解]因为12cossin,44ii所以84224412cossin,(0,1,2,3)44kkiik其四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.}808182832cossin,1616992cossin,161617172cossin,161625252cossin.1616wiwiwiwi2821+iw0w1w2w3Oxy即}083z练习求的所有根.[解]因为所以83z)2,1,0(32sin32cos2sincos2128333kkikiz于是原方程的所有根为3135sin35cos22sincos231)3sin3(cos2210iiziziiz}平面点集在高等数学中已学过,由于复数可以看成复平面上的点,因此我们可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形,同时,很多平面图形也能用复数形式的方程(或不等式)来表示.§1.3复数方程与平面几何图形例1a)0(0rrzz它表示平面上到定点z0的距离等于常数r的点的集合.显然,它是平面上以z0为圆心,r为半径的圆周。z0Oxyr}例1b)0(0rrzz它表示z平面上以z0为圆心,r为半径的不带边的圆盘。z0Oxyr例1cRez=1表示z平面上实部等于1的点的集合。例1d表示主辐角为的点的集合。4argz4OxyO4argzxyO1Rez}因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z1).(t+)由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1).(0t1)例2将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.121121(),()().xxtxxtyytyy[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为}例3求下列方程所表示的曲线:1)||2;2)|2||2|;3)Im()4.ziziziz解：1)||2zi设z=x+iy,方程变为2222|(1)|2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy}2)|2||2|ziz几何上,该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线,方程为yx。Oxy22iyx。）（）（）（）（，则有设xyyxyxyixiyxiyxz22222222用代数方法也可求解.}3)Im()4.iz设z=x+iy,那末(1)Im()1izxyiizy可得所求曲线的方程为y3.yOxy3}练习试确定下列曲线.).(1.2)(,)1(.1为参数tittztittz}§1.4区域1.区域的概念包括无穷远点自身在内且满足|z|M的所有点的集合,其中实数M0,称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M|z|.平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|z-z0|d所确定的点集为z0的去心邻域.}设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.}设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.}例13arg6zOxy3argz6argz.1Rezz练习：}2.单连通域与多连通域在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.}设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)}任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C}定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域}1.复变函数的定义定义设D是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则