数学必修一全部知识点+经典题+解析

数学必修一看题复习注：以下内容总结了数学必修一常考题型，请认真看完每一种类型的题目，题目给出了相应的解析。若解析仍然看不懂，带着问题看每道例题前面的基础知识复习。注：看题时注意动笔写一写，本次要求是熟练每种题目的做题方法，以看和记忆为主。集合部分考点一：集合的定义及其关系基础知识复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA中的任一元素都属于B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB（或BA）BA，且B中至少有一元素不属于A（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBAABBAABABA．B．C．D．集合相等ABA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．6[解题思路]根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4,2,0，故应选择D题型2：集合间的基本关系[例2.1]．数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）A．XY；B．YX；C．YX；D．YX[解题思路]可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。[解析]从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【例2.2】设集合1,,}22{|,{|nnxnnAxxBxZ}Z，则下列图形能表示A与B关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A，3113{,,,,,}2222B，易知BA，故答案选A．[例2.3]若集合2|60,|10MxxxNxax，且NM，求实数a的值.解：由26023xxx或，因此，2,3M.（i）若0a时，得N，此时，NM；（ii）若0a时，得1{}Na.若NM,满足1123aa或，解得1123aa或.故所求实数a的值为0或12或13考点二：集合的基本运算基础知识复习1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。记作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)[例3.1]设集合0232xxxA，0)5()1(222axaxxB（1）若2BA，求实数a的值；（注：这里的I指的是交，Y指的是并）（2）若ABA，求实数a的取值范围[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。[解析]因为2,10232xxxA，（1）由2BA知，B2，从而得0)5()1(4222aa，即0342aa，解得1a或3a当1a时，2,2042xxB，满足条件；当3a时，20442xxxB，满足条件所以1a或3a（2）对于集合B，由)3(8)5(4)1(422aaa因为ABA，所以AB①当0，即3a时，B，满足条件；②当0，即3a时，2B，满足条件；③当0，即3a时，2,1AB才能满足条件，SCsAA由根与系数的关系得725521)1(22122aaaa，矛盾故实数a的取值范围是3a[例3.2]已知集合{|24}Axx，{|}Bxxm，且ABA，求实数m的取值范围.（注：这里的I指的是交，Y指的是并）解：由ABA，可得AB.在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，4m.[例3.3]设集合24,21,,9,5,1AaaBaa，若9AB，求实数a的值.（注：这里的I指的是交，Y指的是并）解：由于24,21,,9,5,1AaaBaa，且9AB，则有：当219a＝时，解得5a＝，此时={4,9,25}={9,0,4}AB－，－，不合题意，故舍去；当29a＝时，解得33a＝或－.3={4,5,9}={9,2,2}aAB＝时，－，－－，不合题意，故舍去；3={4,79}={9,8,4}aAB＝－，－－，，－，合题意.所以，3a＝－函数部分考点一：判断两函数是否为同一个函数基础知识复习：1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。-24mxBA4mx[解析]（1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xxxf)(的定义域为),0()0,(，而;01,01)(xxxg的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0xx，而xxxg2)(的定义域为10xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点二：求函数的定义域、值域知识点复习：1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()fx是整式时，定义域是全体实数．②()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tanyx中，()2xkkZ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．没有0的0次方，也没有0的负数次方。⑦若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个x的取值范围。2，括号范围对括号范围。例如：f（x+1）定义域是（1，2），求f（2x）定义域，先求第一个括号的范围x+1属于（2，3），所以2x属于（2，3），所以x属于（1，3/2）。⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．求值域的几种方法：（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)]1(2[2yyy得021332133yy且，故所求值域是]2133,2133[（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。已知cosx属于（-1，1）如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，因为cosx属于（-1，1），所以]2,0(1cosx，所以]25,(1cos5x，故]21,(y（5）利用对号函数求值域：如求函数432xxy的值域1.当0x时，0y；2.当0x时，xxy43，若0x，则x+4/x的最小值是4，可得0y3/4若0x，则，x+4/x的最大值是-4。可得-3/4y0综上所述：此时从而得所求值域是]43,43[（6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，在一个表达式中频繁出现的部分换成t。注意换元后新元的取值范围：另**=t，则t属于······（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。题型1：求有解析式的函数的定义域[例2].（08年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()（注：这里的I指的是交，Y指的是并）A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(；C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。[解析]欲使函数)(xf有意义，必须并且只需0043230430232222xxxxxxxxx)1,0()0,4[x，故应选择D