计算方法复习题与答案

复习题与答案复习题一复习题一答案复习题二复习题二答案复习题三复习题三答案复习题四复习题四答案自测题复习题（一）一、填空题：1、求方程011015.02xx的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知0099.10110203，则两个根为1x，2x.（要有计算过程和结果）2、410141014A，则A的LU分解为A。3、5321A，则)(A，A.4、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得31_________)(dxxf，用三点式求得)1(f.5、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为.二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组bxA的必要条件是（）.A．A的各阶顺序主子式不为零B.1)(AC.niaii,,2,1,0D.1A2、设753)(99xxxf，均差]2,,2,2,1[992f=().A.3B.-3C.5D.03、设700150322A，则)(A为().A.2B.5C.7D.34、三点的高斯求积公式的代数精度为().A.2B.5C.3D.45、幂法的收敛速度与特征值的分布（）。A.有关B.不一定C.无关三、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算).2、求A、B使求积公式11)]21()21([)]1()1([)(ffBffAdxxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数)。3、已知ix1345)(ixf2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）.4、取步长2.0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题1)0(32yyxy)10(x5、已知ix-2-1012)(ixf42135求)(xf的二次拟合曲线)(2xp，并求)0(f的近似值。6、证明方程24)(3xxxf=0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。复习题（一）参考答案一、一、1、010.204104061021x，00980345.0)10406102(22x2、15561415014115401411A3、103，84、2.3670.255、-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL二、ABCBC5,4,3,2,1三、1、迭代格式)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxk)(1kx)(2kx)(3kx000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、2,,1)(xxxf是精确成立，即32212222BABA得98,91BA求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11ffffdxxf当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左=52，右=31。所以代数精度为3。69286.014097]321132/11[98]311311[91311113221dttdxxxt3、)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1041)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxNxP5.5)2()2(3Pf4、解：)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1nnnnnnnnnnyxyxyyyxyy即04.078.152.01nnnyxyn012345nx00.20.40.60.81.0ny11.825.879610.713719.422435.02795、解：iixiy2ix3ix4ixiiyxiiyx20-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为4134103101510520120aaaaa1411,103,710210aaa221411103710)(xxxpxxp711103)(2103)0()0(2pf复习题（二）一、填空题：1、近似值*0.231x关于真值229.0x有()位有效数字；2、3*x的相对误差为*x的相对误差的()倍；3、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是()；4、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f(),]4,3,2,1,0[f()；5、计算方法主要研究()误差和()误差；6、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为()；7、求解一阶常微分方程初值问题y=f(x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为()；8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为()；9、两点式高斯型求积公式10d)(xxf≈()，代数精度为()；10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。二、单项选择题：1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是()。A.对称阵B.正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零2、舍入误差是()产生的误差。A.A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、3.141580是π的有()位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.74、幂法是用来求矩阵()特征值及特征向量的迭代法。A.按模最大B.按模最小C.所有的D.任意一个5、用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是()。A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是()。A.1MB.1)(AC.1)(MD.1)(M三、计算题：1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？2、已知xsin区间[0.4，0.8]的函数表ix0.40.50.60.70.8iy0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。3、构造求解方程0210xex的根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||nnxx。4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组2053182521432321321321xxxxxxxxx。5﹑对方程组841025410151023321321321xxxxxxxxx（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2）取初值T)0,0,0()0(x，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10||||kkxx。6﹑用复合梯形求积公式计算xxde10，则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?复习题（二）参考答案一、1、2；2、31倍；3、)(1)(1nnnnnxfxfxxx；4、0]4,3,2,1,0[,1]3,2,1,0[ff；5、截断，舍入；6、12nab；7、)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy；8、0.15；9、10)]3213()3213([21d)(ffxxf；10、A的各阶顺序主子式均不为零。二、1、B2、A3、B4、A、5、C6、A7、D三、1、解：设20有n位有效数字，由4.420，知41a令%1.010811021)20()1()1(1*nnra,取4n,%1.010125.0)20(3*r故472.4201、1、解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xMxR尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果596274.063891.0sin，且41055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!31596274.063891.0sin3、解：令010)1(,02)0(,210e)(effxxfx.且010e)(xxf)(，对x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx则当)1,0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx故迭代格式)e2(1011nxnx收敛。取5.00x，计算结果列表如下：n0123nx0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567nx0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足6671095000000.0||xx.所以008525090.0*x.4、解：2441321153121LUA令byL得T)72,10,14(y，yxU得T)3,2,1(x.5、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优151023841025410321321321xxxxxxxxx故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取T)0,0,0()0(x,经7步迭代可得：T)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*xx.6、解：当0x1时，)(xfex，则e)(xf，且xxde10有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差4)(11021)(fRn.由)(12)()(23)(1fnabfRn，只要422)(1102112e12e)e(nnRxn即可，解得30877.67106e2n所以68n，因此至少需将[0,1]68等份。复习题（三）一、填空题：1、为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为。2、用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]